(ITA) Sejam
e
matrizes
uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
(I)
é simétrica.
(II)
é simétrica.
(III)
é simétrica.
temos que:
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (III) é verdadeira.
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
(I)
(II)
(III)
temos que:
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (III) é verdadeira.
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado considera matrizes quadradas
e
de ordem
, com
simétrica. Queremos testar quais das seguintes expressões são sempre simétricas:
Para decidir, vamos usar a propriedade de que uma matriz
é simétrica se e somente se
, bem como que
e
.
Passo 2
Analisando
. Defina
. Então
pois
. Logo
e
é sempre simétrica.
Passo 3
Analisando
. Seja
. Então
novamente usando
. Portanto
e
é simétrica.
Passo 4
Analisando
. Tome
. Calculamos
pois
e
. Assim
e
é simétrica.
Resposta
e) todas as afirmações são verdadeiras.