(ITA) Sejam A e B matrizes n times n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
(I) A B+B A^t é simétrica.
(II) (A+A^t+B) é simétrica.
(III) A B A^t é simétrica.
temos que:
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (II) é verdadeira.
c) apenas (III) é verdadeira.
d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado considera matrizes quadradas A e B de ordem n, com B simétrica. Queremos testar quais das seguintes expressões são sempre simétricas:
(I);AB + B A^t, (II);A + A^t + B, (III);ABA^t
Para decidir, vamos usar a propriedade de que uma matriz M é simétrica se e somente se M^t=M, bem como que (XY)^t=Y^tX^t e B^t=B.

Passo 2

Analisando (I). Defina M = AB + B A^t. Então
M^t = (AB + BA^t)^t = (BA^t)^t + (AB)^t = A,B^t + B^tA^t = AB + BA^t,
pois B^t=B. Logo M^t=M e AB + BA^t é sempre simétrica.

Passo 3

Analisando (II). Seja N = A + A^t + B. Então
N^t = A^t + (A^t)^t + B^t = A^t + A + B = A + A^t + B,
novamente usando B^t=B. Portanto N^t=N e A + A^t + B é simétrica.

Passo 4

Analisando (III). Tome P = A,B,A^t. Calculamos
P^t = (A,B,A^t)^t = (A^t)^t,B^t,A^t = A,B,A^t,
pois B^t=B e (A^t)^t=A. Assim P^t=P e ABA^t é simétrica.

Resposta

e) todas as afirmações são verdadeiras.

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