(ITA-SP) Considere a equação \frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{x}}-\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}\right)}=\mathrm{m}, na variável real x, \operatorname{com} 0<\mathrm{a} \neq 1.0 conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é:
a) (-1,0) \cup(0,1)
b) (-\infty,-1) \cup(1,+\infty)
c) (-1,1)
d) (0, \infty)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{x}}-\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}\right)}=\mathrm{m},
na variável real x, com a constante a satisfazendo 0<a e a\neq 1.
O que se pede: determinar o conjunto de todos os valores de m para os quais existe pelo menos uma solução real x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • a>0 e a\neq 1.
  • A variável é x\in\mathbb{R}.
  • Precisamos achar a condição sobre m\in\mathbb{R} tal que a equação admita solução real.

Passo 2

Primeiro passo prático e clássico: fazer uma substituição para simplificar a expressão. Defina
t=\mathrm{a}^{x}.
Explicando: como a>0 e x é real, temos t=\mathrm{a}^{x}>0. Também \mathrm{a}^{-x}=\frac{1}{t}. Substituindo na equação obtemos:
\frac{t-\dfrac{1}{t}}{t+\dfrac{1}{t}}=m.

Passo 3

Simplificar a fração usando t. Coloca-se tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{\dfrac{t^2-1}{t}}{\dfrac{t^2+1}{t}}=m.
Como os denominadores t se cancelam, sobra a forma mais simples
\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}=m.

Passo 4

Agora faça u=t^{2}. Observação: t>0\Rightarrow u=t^{2}>0. Assim a equação fica
\frac{u-1}{u+1}=m,\qquad u>0.
Resolva essa equação para u em função de m. Multiplicando ambos os lados por u+1 (que não é zero quando u>0) obtemos:
u-1=m(u+1).
Desenvolvendo e agrupando termos em u:
u-1=mu+m \quad\Rightarrow\quad u-mu=m+1 \quad\Rightarrow\quad u(1-m)=m+1.
Desde que m\neq 1 podemos isolar u:
u=\frac{m+1}{1-m},\qquad (m\neq 1).

Passo 5

Lembrando que u>0, devemos impor
\frac{m+1}{1-m}>0.
Para resolver essa desigualdade é conveniente observar que (1-m)^{2}>0 para m\neq 1, portanto multiplicando numerador e denominador adequadamente obtemos equivalência com
(m+1)(1-m)>0.
Expandindo:
1-m^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad m^{2}<1.
Logo a condição necessária (e suficiente, dado todo o processo) para existir u>0 solução é m^{2}<1, isto é
-1<m<1.

Passo 6

Verificações finais importantes e intuitivas:
  • m=1 não é permitido porque, voltando à forma \dfrac{u-1}{u+1}=1, teríamos u-1=u+1, impossível.
  • m=-1 também não funciona porque \dfrac{u-1}{u+1}=-1 implica u-1=-(u+1)\Rightarrow 2u=0\Rightarrow u=0, mas exigimos u>0.
  • Um exemplo que confirma inclusão de valores interiores: para m=0 obtemos u=1\Rightarrow t^{2}=1\Rightarrow t=1\Rightarrow \mathrm{a}^{x}=1\Rightarrow x=0, que é solução real para qualquer a>0, a\neq1.
Portanto, os únicos m que funcionam são os que satisfazem -1<m<1.

Resposta

c) (-1,1)

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