(ITA-SP) Considere a equação
, na variável real
conjunto de todos os valores de
para os quais esta equação admite solução real é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
na variável real
, com a constante
satisfazendo
e
.
O que se pede: determinar o conjunto de todos os valores de para os quais existe pelo menos uma solução real
.
O que se pede: determinar o conjunto de todos os valores de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
e . - A variável é
. - Precisamos achar a condição sobre
tal que a equação admita solução real.
Passo 2
Primeiro passo prático e clássico: fazer uma substituição para simplificar a expressão. Defina
Explicando: como
e
é real, temos
. Também
. Substituindo na equação obtemos:
Passo 3
Simplificar a fração usando
. Coloca-se tudo sobre o mesmo denominador:
Como os denominadores
se cancelam, sobra a forma mais simples
Passo 4
Agora faça
. Observação:
. Assim a equação fica
Resolva essa equação para
em função de
. Multiplicando ambos os lados por
(que não é zero quando
) obtemos:
Desenvolvendo e agrupando termos em
:
Desde que
podemos isolar
:
Passo 5
Lembrando que
, devemos impor
Para resolver essa desigualdade é conveniente observar que
para
, portanto multiplicando numerador e denominador adequadamente obtemos equivalência com
Expandindo:
Logo a condição necessária (e suficiente, dado todo o processo) para existir
solução é
, isto é
Passo 6
Verificações finais importantes e intuitivas:
-
não é permitido porque, voltando à forma , teríamos , impossível. -
também não funciona porque implica , mas exigimos . - Um exemplo que confirma inclusão de valores interiores: para
obtemos , que é solução real para qualquer .
Portanto, os únicos
que funcionam são os que satisfazem
.
Resposta
c)