(U.E. Ponta Grossa-PR) Dadas as funções definidas por
e
, assinale verdadeiro ou falso para cada proposição:
l. Os gráficos de
e
não se interceptam.
II.
é crescente e
é decrescente.
III.
IV.
V.
l. Os gráficos de
II.
III.
IV.
V.
Passo 1
O enunciado fornece as funções
e pede para assinalar verdadeiro ou falso para cada uma das cinco proposições I a V abaixo:
I. Os gráficos de e
não se interceptam.
II. é crescente e
é decrescente.
III. .
IV. .
V. .
I. Os gráficos de
II.
III.
IV.
V.
Também temos, implicitamente, que os domínios são todos os
e as bases das exponenciais são positivas (
e
). A partir daqui vamos checar cada proposição passo a passo, explicando as regras de potência usadas.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas de potências e exponenciais (coisa que cai direto na prova):
- Para qualquer base positiva
e quaisquer reais , vale Essas são as ferramentas que usaremos para manipular e . - Sobre comportamento (crescente/decrescente) de
: - Se
, então é crescente: valores de maiores dão valores maiores de . - Se
, então é decrescente: valores de maiores dão valores menores de .
Isso pode ser visto de forma simples: seentão , e se a desigualdade inverte.
- Se
Aplicando isso aqui:
está entre
e
, então
tende a ser decrescente;
, então
tende a ser crescente. Guardamos isso para usar na proposição II.
Passo 3
Vamos verificar a interseção dos gráficos (proposição I). Resolver
:
Note que
porque
. Substituindo,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Como
e é positivo, a única solução real dessa equação é
, ou seja
. Para
temos
. Portanto os dois gráficos se interceptam no ponto
. Isso responde a I (ver a seção de respostas para marcar verdadeiro/falso).
Passo 4
Agora a proposição II: usamos o raciocínio do passo 2. A base de
é
com
, logo
é decrescente. A base de
é
, logo
é crescente. Para dar um exemplo numérico que deixa isso claro:
mostrando
. E
mostrando
. Assim a afirmação "
é crescente e
é decrescente" é o inverso do que constatamos.
Passo 5
Proposição III: calcular
e comparar com
.
Calcule
:
onde usei
.
Calcule
:
Multiplicando:
Fazendo as simplificações passo a passo:
Cancele
com
(ficando
e
) e cancele
com
(ficando
e
):
Agora
. Portanto
.
Passo 6
Proposição IV: calcular
e comparar com
.
Primeiro
. Então
Logo
é verdade.
Passo 7
Proposição V: calcular
.
Já calculamos
no passo 5. E
Somando:
Portanto a igualdade dada em V é verdadeira.
Resposta
I. Falso
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Verdadeiro
V. Verdadeiro
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Verdadeiro
V. Verdadeiro