(U.E. Ponta Grossa-PR) Dadas as funções definidas por f(x)=\left(\frac{4}{5}\right)^{x} e g(x)=\left(\frac{5}{4}\right)^{x}, assinale verdadeiro ou falso para cada proposição:
l. Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
II. f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
III. g(-2) \cdot f(-1)=f(1)
IV. f[g(0)]=f(1)
V. f(-1)+g(1)=\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=\left(\frac{4}{5}\right)^{x}\quad\text{e}\quad g(x)=\left(\frac{5}{4}\right)^{x}
e pede para assinalar verdadeiro ou falso para cada uma das cinco proposições I a V abaixo:
I. Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
II. f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
III. g(-2)\cdot f(-1)=f(1).
IV. f[g(0)]=f(1).
V. f(-1)+g(1)=\dfrac{5}{2}.
Também temos, implicitamente, que os domínios são todos os \mathbb{R} e as bases das exponenciais são positivas ( 4/5 e 5/4). A partir daqui vamos checar cada proposição passo a passo, explicando as regras de potência usadas.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas de potências e exponenciais (coisa que cai direto na prova):
  • Para qualquer base positiva a>0 e quaisquer reais x,y, vale a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},\qquad a^{-x}=\frac{1}{a^{x}},\qquad (a^{x})^{y}=a^{xy}.Essas são as ferramentas que usaremos para manipular f e g.
  • Sobre comportamento (crescente/decrescente) de x\mapsto a^{x}:
    • Se a>1, então a^{x} é crescente: valores de x maiores dão valores maiores de a^{x}.
    • Se 0<a<1, então a^{x} é decrescente: valores de x maiores dão valores menores de a^{x}.
      Isso pode ser visto de forma simples: se a>1 então a^{x+1}=a\cdot a^{x}>a^{x}, e se 0<a<1 a desigualdade inverte.
Aplicando isso aqui: 4/5 está entre 0 e 1, então f(x)=\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^x tende a ser decrescente; 5/4>1, então g(x)=\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^x tende a ser crescente. Guardamos isso para usar na proposição II.

Passo 3

Vamos verificar a interseção dos gráficos (proposição I). Resolver f(x)=g(x):
\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=\left(\frac{5}{4}\right)^{x}.
Note que \left(\dfrac{5}{4}\right)^{x}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-x} porque \dfrac{5}{4}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1}. Substituindo,
\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=\left(\frac{4}{5}\right)^{-x}.
Multiplicando ambos os lados por \left(\dfrac{4}{5}\right)^{x} obtemos
\left(\frac{4}{5}\right)^{2x}=1.
Como \dfrac{4}{5}\neq 1 e é positivo, a única solução real dessa equação é 2x=0, ou seja x=0. Para x=0 temos f(0)=g(0)=1. Portanto os dois gráficos se interceptam no ponto (0,1). Isso responde a I (ver a seção de respostas para marcar verdadeiro/falso).

Passo 4

Agora a proposição II: usamos o raciocínio do passo 2. A base de f é \dfrac{4}{5} com 0<\dfrac{4}{5}<1, logo f é decrescente. A base de g é \dfrac{5}{4}>1, logo g é crescente. Para dar um exemplo numérico que deixa isso claro:
f(0)=1,\quad f(1)=\frac{4}{5}=0{,}8,\quad f(2)=\frac{16}{25}=0{,}64,
mostrando f(0)>f(1)>f(2). E
g(0)=1,\quad g(1)=\frac{5}{4}=1{,}25,\quad g(2)=\frac{25}{16}=1{,}5625,
mostrando g(0)<g(1)<g(2). Assim a afirmação " f é crescente e g é decrescente" é o inverso do que constatamos.

Passo 5

Proposição III: calcular g(-2)\cdot f(-1) e comparar com f(1).
Calcule g(-2):
g(-2)=\left(\frac{5}{4}\right)^{-2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25},
onde usei a^{-2}=(1/a)^2.
Calcule f(-1):
f(-1)=\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{4}.
Multiplicando:
g(-2)\cdot f(-1)=\frac{16}{25}\cdot\frac{5}{4}.
Fazendo as simplificações passo a passo:
\frac{16}{25}\cdot\frac{5}{4}=\frac{16\cdot 5}{25\cdot 4}.
Cancele 5 com 25 (ficando 1 e 5) e cancele 4 com 16 (ficando 1 e 4):
\frac{16\cdot 5}{25\cdot 4}=\frac{4\cdot 1}{5\cdot 1}=\frac{4}{5}.
Agora f(1)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{1}=\dfrac{4}{5}. Portanto g(-2)\cdot f(-1)=f(1).

Passo 6

Proposição IV: calcular f[g(0)] e comparar com f(1).
Primeiro g(0)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{0}=1. Então
f[g(0)]=f(1)=\left(\frac{4}{5}\right)^{1}=\frac{4}{5}.
Logo f[g(0)]=f(1) é verdade.

Passo 7

Proposição V: calcular f(-1)+g(1).
Já calculamos f(-1)=\dfrac{5}{4} no passo 5. E
g(1)=\left(\frac{5}{4}\right)^{1}=\frac{5}{4}.
Somando:
f(-1)+g(1)=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.
Portanto a igualdade dada em V é verdadeira.

Resposta

I. Falso
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Verdadeiro
V. Verdadeiro

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