Item 04 (Valor: 0,5)
Por definição um circuito RLC é um circuito elétrico no qual os componentes são: um resistor, um indutor e um capacitor, sendo necessário pelo menos um de cada, e estes componentes podem estar em serie ou paralelo. Quando os três elementos estão presentes, a tensão e corrente do circuito pode assumir determinado comportamento, dependendo do valor de cada elemento.
Selecione a alternativa que descreve o comportamento correto para o circuito RLC série quando a resistência é zero.
Alternativas:
a)
circuito é ressonante (
) amortecimento supercrítico;
b)
circuito tem
, temos o caso de amortecimento subamortecido;
c)
circuito tem (
amortecimento crítico;
d)
, o circuito é oscilatório (
) não amortecido e sem perdas, sendo não
e)
, o circuito não e RLC e não pode ser amortecido; determinado o amortecimento pela falta de um resistor;
Selecione a alternativa que descreve o comportamento correto para o circuito RLC série quando a resistência é zero.
Alternativas:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: escolher a alternativa que descreve corretamente o comportamento do circuito RLC série quando a resistência é zero. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Tem-se um circuito RLC série (resistor
, indutor , capacitor ), mas aqui especificamente . - As alternativas descrevem situações em termos de
(fator de amortecimento) e (frequência natural), e classificações como supercrítico, crítico, subamortecido, oscilatório não amortecido, etc. - Precisa-se identificar, entre as alternativas (a) a (e), qual descreve corretamente o caso
.
Passo 2
Esclarecer as fórmulas e o que cada símbolo significa (aulas rápidas):
- Para o circuito RLC série a equação diferencial que governa a corrente livre
é, vindo da lei de Kirchhoff:
Aqui:
-
é a indutância (henry, H), -
é a resistência (ohm, ), -
é a capacitância (farad, F), -
é a corrente no tempo. - Colocando na forma característica padrão (dividindo por
) obtemos:
- Define-se o fator de amortecimento
e a frequência natural por:
Explicação intuitiva:
-
mede a taxa com que a amplitude das oscilações decai (se positiva). Maior → maior → mais amortecimento. -
é a frequência angular natural do par - (quando não há amortecimento).
Passo 3
Determinar as raízes da equação característica e a condição que define os regimes (amortecido, crítico, subamortecido).
- A equação característica é
cuja solução é
- Dependendo da relação entre
e temos: - Se
: raízes reais distintas → resposta superamortecida (sem oscilações). - Se
: raízes reais iguais → amortecimento crítico. - Se
: raízes complexas conjugadas → resposta subamortecida (oscilações amortecidas). - Caso particular importante: se
(ou seja ), as raízes são puramente imaginárias → oscilação perpétua (sem decaimento).
- Se
Passo 4
Aplicar
ao problema (contas diretas e interpretação física).
- Como
, com obtemos
-
é um número positivo finito para e , então
- Substituindo
na equação característica:
Ou seja, as soluções temporais são senos e cossenos com frequência
, sem fator exponencial de decaimento. Em linguagem física: energia oscila entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor, não há resistor para dissipar energia, logo não há perdas — resposta não amortecida, puramente oscilatória.
Passo 5
Comparar com as alternativas e justificar por que as outras estão erradas.
- Alternativa (a): diz
e supercrítico — incorreto, supercrítico ocorre quando , e com não temos . - Alternativa (b): diz
e subamortecido — contraditória (se é superamortecido, não subamortecido); além disso com não tem . - Alternativa (c): diz
(amortecimento crítico) — incorreto porque com temos , não igual a . - Alternativa (d): diz
, circuito é oscilatório ( ), não amortecido e sem perdas — isso coincide exatamente com o resultado matemático e físico: e raízes , logo oscilações não amortecidas. - Alternativa (e): afirma que sem resistor não é RLC e não pode ser amortecido — incorreto conceitualmente: ainda é um circuito RLC (tem L e C) e o amortecimento é determinado por
; com o amortecimento é nulo (não amortecido), portanto a alternativa (e) erra ao dizer que “não pode ser amortecido” no sentido geral e que “não é RLC”.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (é útil para prova): suponha
e
.
- Então
e com tem-se . - A solução para
livre será algo como , oscilando para sempre à frequência se não houver perdas externas — mentalmente veja que não há fator porque .
Resposta
d)