Item 04 (Valor: 0,5)
Por definição um circuito RLC é um circuito elétrico no qual os componentes são: um resistor, um indutor e um capacitor, sendo necessário pelo menos um de cada, e estes componentes podem estar em serie ou paralelo. Quando os três elementos estão presentes, a tensão e corrente do circuito pode assumir determinado comportamento, dependendo do valor de cada elemento.
Selecione a alternativa que descreve o comportamento correto para o circuito RLC série quando a resistência é zero.
Alternativas:
a) \mathrm{R}=0, \mathrm{o} circuito é ressonante ( \alpha=\omega_{0} ) amortecimento supercrítico;
b) \mathrm{R}=0, \mathrm{o} circuito tem \left(\alpha>\omega_{0}\right), temos o caso de amortecimento subamortecido;
c) \mathrm{R}=0, \quad o \quad circuito tem ( \left.\alpha=\omega_{0}\right) amortecimento crítico;
d) \mathrm{R}=0, o circuito é oscilatório ( \alpha<\omega_{0} ) não amortecido e sem perdas, sendo não
e) \mathrm{R}=0, o circuito não e RLC e não pode ser amortecido; determinado o amortecimento pela falta de um resistor;

Passo 1

O enunciado pede: escolher a alternativa que descreve corretamente o comportamento do circuito RLC série quando a resistência é zero. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Tem-se um circuito RLC série (resistor R, indutor L, capacitor C), mas aqui especificamente R=0.
  • As alternativas descrevem situações em termos de \alpha (fator de amortecimento) e \omega_0 (frequência natural), e classificações como supercrítico, crítico, subamortecido, oscilatório não amortecido, etc.
  • Precisa-se identificar, entre as alternativas (a) a (e), qual descreve corretamente o caso R=0.

Passo 2

Esclarecer as fórmulas e o que cada símbolo significa (aulas rápidas):
  • Para o circuito RLC série a equação diferencial que governa a corrente livre i(t) é, vindo da lei de Kirchhoff:
L\frac{d^{2}i}{dt^{2}} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}\,i = 0.
Aqui:
  • L é a indutância (henry, H),
  • R é a resistência (ohm, \Omega),
  • C é a capacitância (farad, F),
  • i(t) é a corrente no tempo.
  • Colocando na forma característica padrão (dividindo por L) obtemos:
\frac{d^{2}i}{dt^{2}} + \frac{R}{L}\frac{di}{dt} + \frac{1}{LC}\,i = 0.
  • Define-se o fator de amortecimento \alpha e a frequência natural \omega_0 por:
\alpha = \frac{R}{2L},\qquad \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Explicação intuitiva:
  • \alpha mede a taxa com que a amplitude das oscilações decai (se positiva). Maior R → maior \alpha → mais amortecimento.
  • \omega_0 é a frequência angular natural do par L- C (quando não há amortecimento).

Passo 3

Determinar as raízes da equação característica e a condição que define os regimes (amortecido, crítico, subamortecido).
  • A equação característica é
s^{2} + 2\alpha s + \omega_{0}^{2} = 0,
cuja solução é
s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
  • Dependendo da relação entre \alpha e \omega_0 temos:
    • Se \alpha>\omega_0: raízes reais distintas → resposta superamortecida (sem oscilações).
    • Se \alpha=\omega_0: raízes reais iguais → amortecimento crítico.
    • Se \alpha<\omega_0: raízes complexas conjugadas → resposta subamortecida (oscilações amortecidas).
    • Caso particular importante: se \alpha=0 (ou seja R=0), as raízes são puramente imaginárias \pm j\omega_0 → oscilação perpétua (sem decaimento).

Passo 4

Aplicar R=0 ao problema (contas diretas e interpretação física).
  • Como \alpha = \dfrac{R}{2L}, com R=0 obtemos
\alpha = 0.
  • \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} é um número positivo finito para L>0 e C>0, então
\alpha = 0 < \omega_0.
  • Substituindo R=0 na equação característica:
s^{2} + \omega_{0}^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad s = \pm j\omega_{0}.
Ou seja, as soluções temporais são senos e cossenos com frequência \omega_0, sem fator exponencial de decaimento. Em linguagem física: energia oscila entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor, não há resistor para dissipar energia, logo não há perdas — resposta não amortecida, puramente oscilatória.

Passo 5

Comparar com as alternativas e justificar por que as outras estão erradas.
  • Alternativa (a): diz \alpha=\omega_0 e supercrítico — incorreto, supercrítico ocorre quando \alpha>\omega_0, e com R=0 não temos \alpha=\omega_0.
  • Alternativa (b): diz \alpha>\omega_0 e subamortecido — contraditória (se \alpha>\omega_0 é superamortecido, não subamortecido); além disso com R=0 não tem \alpha>\omega_0.
  • Alternativa (c): diz \alpha=\omega_0 (amortecimento crítico) — incorreto porque com R=0 temos \alpha=0, não igual a \omega_0.
  • Alternativa (d): diz R=0, circuito é oscilatório ( \alpha<\omega_0), não amortecido e sem perdas — isso coincide exatamente com o resultado matemático e físico: \alpha=0<\omega_0 e raízes \pm j\omega_0, logo oscilações não amortecidas.
  • Alternativa (e): afirma que sem resistor não é RLC e não pode ser amortecido — incorreto conceitualmente: ainda é um circuito RLC (tem L e C) e o amortecimento é determinado por R; com R=0 o amortecimento é nulo (não amortecido), portanto a alternativa (e) erra ao dizer que “não pode ser amortecido” no sentido geral e que “não é RLC”.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (é útil para prova): suponha L=1\\ \mathrm{H} e C=1\\ \mathrm{F}.
  • Então \omega_0=1\\ \mathrm{rad/s} e com R=0 tem-se \alpha=0.
  • A solução para i(t) livre será algo como i(t)=I_0\cos(t)+I_1\sin(t), oscilando para sempre à frequência 1\\ \mathrm{rad/s} se não houver perdas externas — mentalmente veja que não há fator e^{-\alpha t} porque \alpha=0.

Resposta

d)

Exercícios relacionados