Mostre que \varphi(x)=x^{2} é uma solução explícita para
x \frac{d y}{d x}=2 y

Passo 1

O enunciado dá a função candidata \varphi(x)=x^{2} e a equação diferencial
x \frac{dy}{dx}=2y.
O que se pede: mostrar que \varphi(x)=x^{2} é uma solução explícita, isto é, verificar que ao substituir y=\varphi(x) na equação a igualdade é verdadeira. Informação dada e útil:
  • função candidata: \varphi(x)=x^{2};
  • equação diferencial a verificar: x \dfrac{dy}{dx}=2y.
    A resolução começa identificando \dfrac{dy}{dx} para y=\varphi(x) e então substituindo na equação.

Passo 2

Relembrando o conceito que vamos usar: a derivada \dfrac{d}{dx} mede a taxa de variação de uma função em relação a x. Para potências inteiras positivas existe a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Essa regra pode ser demonstrada pela definição do limite, mas aqui vamos aplicá-la diretamente com n=2.

Passo 3

Aplicando a regra do poder à nossa função \varphi(x)=x^{2}, obtemos a derivada
\varphi'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Explicando cada símbolo: \varphi'(x) é \dfrac{d\varphi}{dx}, a taxa de variação de \varphi em relação a x; o resultado 2x significa que, em qualquer x, a derivada vale 2x.

Passo 4

Agora substituímos y=\varphi(x) e \dfrac{dy}{dx}=\varphi'(x) na expressão do lado esquerdo da equação dada:
x\frac{dy}{dx}=x\varphi'(x)=x\cdot(2x)=2x^{2}.
Aqui fizemos uma multiplicação simples: x vezes 2x é 2x^{2}.

Passo 5

Calculamos o lado direito da equação usando y=\varphi(x):
2y=2\varphi(x)=2\cdot x^{2}=2x^{2}.

Passo 6

Comparando os dois lados obtidos:
x\frac{dy}{dx}=2x^{2}\qquad\text{e}\qquad 2y=2x^{2}.
Como os dois lados são iguais para todo x (mesma expressão 2x^{2}), concluímos que a igualdade da equação diferencial é satisfeita por y=\varphi(x)=x^{2}.

Passo 7

Observação adicional (útil para a prova): a equação é separável. Para x\neq0 pode-se escrever
\frac{dy}{y}=\frac{2\,dx}{x},
integrando-se obtemos \ln|y|=2\ln|x|+C, isto é |y|=Kx^{2} e portanto y=Kx^{2} (constante arbitrária K). A função \varphi(x)=x^{2} corresponde ao caso particular K=1. Note que, ao manipular a equação dividindo por x, foi assumido x\neq0; entretanto a verificação direta feita nos Passos 4–6 mostra que \varphi(x)=x^{2} satisfaz a igualdade também em x=0 (ambos os lados valem 0).

Resposta

\varphi(x)=x^{2} é uma solução explícita da equação diferencial.

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