Mostre que
é uma solução explícita para
Passo 1
O enunciado dá a função candidata
e a equação diferencial
O que se pede: mostrar que
é uma solução explícita, isto é, verificar que ao substituir
na equação a igualdade é verdadeira. Informação dada e útil:
- função candidata:
; - equação diferencial a verificar:
.
A resolução começa identificandopara e então substituindo na equação.
Passo 2
Relembrando o conceito que vamos usar: a derivada
mede a taxa de variação de uma função em relação a
. Para potências inteiras positivas existe a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. Essa regra pode ser demonstrada pela definição do limite, mas aqui vamos aplicá-la diretamente com
.
Passo 3
Aplicando a regra do poder à nossa função
, obtemos a derivada
Explicando cada símbolo:
é
, a taxa de variação de
em relação a
; o resultado
significa que, em qualquer
, a derivada vale
.
Passo 4
Agora substituímos
e
na expressão do lado esquerdo da equação dada:
Aqui fizemos uma multiplicação simples:
vezes
é
.
Passo 5
Calculamos o lado direito da equação usando
:
Passo 6
Comparando os dois lados obtidos:
Como os dois lados são iguais para todo
(mesma expressão
), concluímos que a igualdade da equação diferencial é satisfeita por
.
Passo 7
Observação adicional (útil para a prova): a equação é separável. Para
pode-se escrever
integrando-se obtemos
, isto é
e portanto
(constante arbitrária
). A função
corresponde ao caso particular
. Note que, ao manipular a equação dividindo por
, foi assumido
; entretanto a verificação direta feita nos Passos 4–6 mostra que
satisfaz a igualdade também em
(ambos os lados valem
).