Item (a) Calcule \int \ln \left(x^{2}+1\right) d x
Dica: use integração por partes, e depois note que \frac{x^{2}}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O método indicado é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx, \quad v = \int dv = x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

No integrando restou
\int \frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.
Usando a dica
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1},
obtemos
\frac{2x^{2}}{x^{2}+1} = 2 - \frac{2}{x^{2}+1}.
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\int \frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int \Bigl(2 - \frac{2}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx = 2x - 2\arctan x + C.

Resposta

\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - \bigl(2x - 2\arctan x\bigr) + C = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2x + 2\arctan x + C.

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