Considere a região limitada pelas curvas y=-8 x^{2}+40 x-16 e y=8 x. Determine o VOLUME do sólido obtido pela revolução desta região em torno do eixo x.
Sugestão: revise as notas e vídeo-aulas na aba “Semana 5”, e as vídeo-aulas do Prof. Pedrosa.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
Volume V= \square

Passo 1

O enunciado descreve a região do plano limitada pelas curvas
y_1(x) = -8x^2 + 40x - 16
e
y_2(x) = 8x
e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x.
Conteúdo: método dos discos (lavadoras), usando
V = \pi \int_{a}^{b}\bigl[R_{\text{outer}}(x)^2 - R_{\text{inner}}(x)^2\bigr]\,dx.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
-8x^2 + 40x - 16 = 8x
\Longrightarrow -8x^2 + 32x -16 = 0
\Longrightarrow x^2 -4x +2 = 0
\Longrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}.
Logo os limites de integração são a = 2 - \sqrt{2} e b = 2 + \sqrt{2}.

Passo 3

Para saber qual curva fica acima no intervalo \bigl[2-\sqrt2,\;2+\sqrt2\bigr], avaliamos num ponto interno, por exemplo x=2:
y_1(2) = -8\cdot4 + 80 -16 = 32, \quad y_2(2)=16,
logo y_1(x)\ge y_2(x) entre as raízes. Assim
R_{\text{outer}}(x)=y_1(x), \quad R_{\text{inner}}(x)=y_2(x).

Passo 4

Montamos o integral do volume pelas “lavadoras”:
V = \pi \int_{2-\sqrt2}^{2+\sqrt2} \bigl[\bigl(-8x^2+40x-16\bigr)^2 - (8x)^2\bigr]\,dx.

Passo 5

Expandindo o integrando:
(-8x^2+40x-16)^2 = 64x^4 -640x^3 +1856x^2 -1280x +256,
(8x)^2 = 64x^2,
\Longrightarrow \text{integrando} =64x^4 -640x^3 +(1856-64)x^2 -1280x +256 =64x^4 -640x^3 +1792x^2 -1280x +256.
Uma antiderivada é
F(x)=\frac{64}{5}x^5 -160x^4 +\frac{1792}{3}x^3 -640x^2 +256x.

Passo 6

Para avaliar F(b)-F(a) de modo mais simples, fazemos a substituição simétrica t=x-2, de modo que x=2\pm\sqrt2 vira t=\pm\sqrt2. Reescrevendo e integrando por paridade, chega-se ao resultado exato
V = \frac{14336\,\sqrt2}{15}\,\pi.

Passo 7

Convertendo para decimal (quatro casas decimais):
V \approx 4246.2113.

Resposta

V = 4246.2113

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