Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei \vec{r}(t) \cos (2 t) \vec{i}+\operatorname{sen}(2 t) \vec{j}+\vec{k}. Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de posição
\vec{r}(t)=\cos(2t)\,\vec{i}+\sin(2t)\,\vec{j}+\vec{k},
e pede que a gente calcule o vetor velocidade \vec{v}(t)=\frac{d\vec r}{dt} e o vetor aceleração \vec{a}(t)=\frac{d\vec v}{dt}, e mostre que \vec{r}(t)\perp\vec{v}(t) e \vec{v}(t)\perp\vec{a}(t). Vamos usar derivação componente a componente e produto escalar para verificar a ortogonalidade.

Passo 2

Derivando cada componente de \vec{r}(t) em relação a t, temos
\vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[\cos(2t)\bigr]\,\vec{i}+\frac{d}{dt}\bigl[\sin(2t)\bigr]\,\vec{j}+\frac{d}{dt}[1]\,\vec{k}.
Como \frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t), \frac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t) e \frac{d}{dt}1=0, segue
\vec{v}(t)=-2\sin(2t)\,\vec{i}+2\cos(2t)\,\vec{j}+0\,\vec{k}.

Passo 3

Agora derivamos \vec{v}(t) para obter \vec{a}(t):
\vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[-2\sin(2t)\bigr]\,\vec{i}+\frac{d}{dt}\bigl[2\cos(2t)\bigr]\,\vec{j}+\frac{d}{dt}[0]\,\vec{k}.
Usando \frac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t) e \frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t), obtemos
\vec{a}(t)=-4\cos(2t)\,\vec{i}-4\sin(2t)\,\vec{j}+0\,\vec{k}.

Passo 4

Para mostrar que \vec{r}(t) é perpendicular a \vec{v}(t), calculamos o produto escalar:
\vec{r}(t)\cdot\vec{v}(t) =\bigl[\cos(2t)\bigr]\bigl[-2\sin(2t)\bigr] +\bigl[\sin(2t)\bigr]\bigl[2\cos(2t)\bigr] +1\cdot 0.
Isso dá
-2\cos(2t)\sin(2t)+2\sin(2t)\cos(2t)=0,
logo \vec{r}(t)\perp\vec{v}(t).

Passo 5

Para mostrar que \vec{v}(t) é perpendicular a \vec{a}(t), fazemos
\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t) =\bigl[-2\sin(2t)\bigr]\bigl[-4\cos(2t)\bigr] +\bigl[2\cos(2t)\bigr]\bigl[-4\sin(2t)\bigr] +0\cdot0.
Isso dá
8\sin(2t)\cos(2t)-8\cos(2t)\sin(2t)=0,
portanto \vec{v}(t)\perp\vec{a}(t).

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t)=-2\sin(2t)\,\vec{i}+2\cos(2t)\,\vec{j}, \displaystyle \vec{a}(t)=-4\cos(2t)\,\vec{i}-4\sin(2t)\,\vec{j}.
Além disso, \vec{r}(t) é perpendicular a \vec{v}(t) e \vec{v}(t) é perpendicular a \vec{a}(t).

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