Item (b) A partir do item (a) calcule \int_{0}^{\sqrt{3}} \ln \left(x^{2}+1\right) d x e insira a sua resposta abaixo
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
Entre aqui o valor da integral do item (b) \square

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\sqrt{3}} \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo usado será integração por partes e reconhecimento de integrais de funções racionais e da função \arctan x.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes
u = \ln\bigl(1+x^{2}\bigr), \quad dv = dx,
de modo que
du = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx, \quad v = x.
Então
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - \int \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

No termo \displaystyle \int \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx escrevemos
\frac{2x^{2}}{1+x^{2}} =2\frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}} =2 - \frac{2}{1+x^{2}},
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\int \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = \int \bigl(2 - \tfrac{2}{1+x^{2}}\bigr)\,dx =2x -2\arctan x.

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos a antiderivada
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) -2x +2\arctan x + C.

Passo 5

Avaliamo-la de 0 a \sqrt{3}:
\Bigl[x\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)-2x+2\arctan x\Bigr]_{0}^{\sqrt{3}}.

Passo 6

Para x=\sqrt{3} temos 1+x^{2}=4, \ln4=2\ln2 e \arctan(\sqrt{3})=\pi/3. Em x=0 tudo dá zero. Portanto o valor exato é
2\sqrt{3}\,\ln2 \;-\;2\sqrt{3}\;+\;\frac{2\pi}{3}.

Passo 7

Usando \ln2\approx0,693147, \sqrt{3}\approx1,732051 e \pi\approx3,141593, obtemos numericamente
2\sqrt{3}\ln2-2\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}\approx1,032241.

Resposta

1.032241

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