Item 2) Considere os pontos A=(1,-4,4), B=(2,0,5), C=(2,4,5).
(a) Determine a área do triângulo A B C : \square
(b) Determine o ponto Q da reta A B tal que: a medida do segmento C Q é a altura do triângulo A B C relativa à base A B.
Q=(\square)

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A=(1,-4,4),\quad B=(2,0,5),\quad C=(2,4,5).
Pede (a) a área do triângulo ABC e (b) o ponto Q sobre a reta AB tal que CQ seja a altura relativa à base AB. Vamos usar produto vetorial para a área e projeção ortogonal para achar Q.

Passo 2

Formamos os vetores que partem de A:
\vec{AB} = B - A = (2-1,\;0-(-4),\;5-4) = (1,4,1),
\vec{AC} = C - A = (2-1,\;4-(-4),\;5-4) = (1,8,1).

Passo 3

O produto vetorial dá uma área dupla do paralelogramo:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ 1 & 8 & 1 \end{vmatrix} = (-4,\,0,\,4).
O módulo é
\big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\| =\sqrt{(-4)^2+0^2+4^2} =\sqrt{32} =4\sqrt2.
Logo a área do triângulo é metade disso:
\mathrm{Área} = \frac{1}{2}\,4\sqrt2 = 2\sqrt2.Á

Passo 4

Para achar o pé da perpendicular de C sobre a reta AB, escrevemos
Q = A + t\,\vec{AB},
onde
t = \frac{\vec{AC}\cdot\vec{AB}}{\vec{AB}\cdot\vec{AB}}
é o parâmetro da projeção ortogonal de \vec{AC} em \vec{AB}.

Passo 5

Calculamos os produtos escalares:
\vec{AC}\cdot\vec{AB} =1\cdot1 + 8\cdot4 + 1\cdot1 = 1 + 32 + 1 = 34,
\vec{AB}\cdot\vec{AB} =1^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18.
Então
t = \frac{34}{18} = \frac{17}{9}.
Logo
Q = A + \frac{17}{9}(1,4,1) =\Bigl(1+\tfrac{17}{9},\,-4+\tfrac{68}{9},\,4+\tfrac{17}{9}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{26}{9},\,\tfrac{32}{9},\,\tfrac{53}{9}\Bigr).

Resposta

(a) 2\sqrt2
(b) Q=\bigl(\tfrac{26}{9},\,\tfrac{32}{9},\,\tfrac{53}{9}\bigr)

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