Item 1) Sobre uma pirâmide P A B C D sabe-se que: sua base A B C D é um paralelogramo de lados A B e A D medindo respectivamente 1 e 4 , o ângulo B A D mede 60 graus, o vetor \overrightarrow{P A} mede 5 e tem a direção e sentido do vetor \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}. Nessas condições, complete:
(a) |\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A P})|=\square
(b) Se \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}=m \overrightarrow{A P}, então m=\square
(c) |2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{B C}|^{2}=\square
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide PABC D cuja base ABCD é um paralelogramo com \lvert AB\rvert=1, \lvert AD\rvert=4 e \angle BAD=60^\circ. O vetor \overrightarrow{AP} tem módulo 5 e direção de \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}. Vamos usar:
O módulo do produto vetorial \lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rvert como área do paralelogramo.
A identidade vetorial do tipo \mathbf{a}\cdot\bigl(\mathbf{b}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\bigr)=\lvert\mathbf{a}\rvert^2\lvert\mathbf{b}\rvert^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2.
No item (b), aproveitamos que \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} e \overrightarrow{AP} têm mesma direção.
No item (c), usamos que em um paralelogramo \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.