Item 1) Sobre uma pirâmide P A B C D sabe-se que: sua base A B C D é um paralelogramo de lados A B e A D medindo respectivamente 1 e 4 , o ângulo B A D mede 60 graus, o vetor \overrightarrow{P A} mede 5 e tem a direção e sentido do vetor \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}. Nessas condições, complete:
(a) |\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A P})|= \square
(b) Se \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}=m \overrightarrow{A P}, então m= \square
(c) |2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{B C}|^{2}= \square

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide PABC D cuja base ABCD é um paralelogramo com \lvert AB\rvert=1, \lvert AD\rvert=4 e \angle BAD=60^\circ. O vetor \overrightarrow{AP} tem módulo 5 e direção de \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}. Vamos usar:
  1. O módulo do produto vetorial \lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rvert como área do paralelogramo.
  2. A identidade vetorial do tipo \mathbf{a}\cdot\bigl(\mathbf{b}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\bigr)=\lvert\mathbf{a}\rvert^2\lvert\mathbf{b}\rvert^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2.
  3. No item (b), aproveitamos que \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} e \overrightarrow{AP} têm mesma direção.
  4. No item (c), usamos que em um paralelogramo \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.

Passo 2

Calculamos primeiro
\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rvert =\lvert AB\rvert\;\lvert AD\rvert\;\sin60^\circ =1\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2} =2\sqrt3.

Passo 3

Como \overrightarrow{AP}=5\,\dfrac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}}{\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rvert}, temos
\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}\bigr) =\frac{5}{\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rvert} \;\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AD}\times(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\bigr).
Pela identidade vetorial,
\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AD}\times(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\bigr) =\lvert AB\rvert^2\lvert AD\rvert^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD})^2 =1^2\cdot4^2 - (1\cdot4\cdot\tfrac12)^2 =16-4=12.
Logo,
\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP})\bigr| =\frac{5\cdot12}{2\sqrt3} =\frac{60}{2\sqrt3} =\;10\sqrt3.

Passo 4

Da relação \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=m\,\overrightarrow{AP}, tomando módulos:
m=\frac{\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\rvert}{\lvert\overrightarrow{AP}\rvert} =\frac{2\sqrt3}{5}.

Passo 5

No paralelogramo BC=AD, escrevemos
2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}.
O quadrado do módulo é
\lvert2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}\rvert^2 =4\lvert AB\rvert^2+9\lvert AD\rvert^2-12(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}) =4\cdot1+9\cdot16-12\cdot2 =4+144-24 =124.

Resposta

(a) 10\sqrt3
(b) \tfrac{2\sqrt3}{5}
(c) 124

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