Item 2) Considere os pontos A=(2,-5,5), B=(3,0,6), C=(3,5,7).
(a) Determine a área do triângulo A B C : \square
(b) Determine o ponto Q da reta A B tal que: a medida do segmento C Q é a altura do triângulo A B C relativa à base A B.
Q=(\square)
Passo 1
O enunciado dá os pontos \displaystyle A=(2,-5,5), \displaystyle B=(3,0,6) e \displaystyle C=(3,5,7)
e pede (a) a área do triângulo ABC e (b) o ponto Q na reta AB tal que CQ seja a altura relativa à base AB. Para a área usaremos produto vetorial; para Q, projeção ortogonal de C sobre AB.
Passo 2
Calculamos os vetores
AB = B - A = (1,5,1),\qquad AC = C - A = (1,10,2).
Passo 3
A área do triângulo é
\text{Área} = \tfrac12\,\|\,AB \times AC\|\,.
Vamos achar o produto vetorial:
AB \times AC = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&5&1\\\\ 1&10&2 \end{vmatrix} = (5\cdot2 - 1\cdot10,\;1\cdot1 - 1\cdot2,\;1\cdot10 - 5\cdot1) = (0,-1,5).
Passo 4
O módulo desse vetor é \displaystyle \sqrt{0^2+(-1)^2+5^2} = \sqrt{26}.
Logo
\text{Área} = \frac12\,\sqrt{26}.Á
Passo 5
Para encontrar Q, projetamos o vetor AC sobre AB. O parâmetro da reta é