Item 2) Considere os pontos A=(2,-5,5), B=(3,0,6), C=(3,5,7).
(a) Determine a área do triângulo A B C : \square
(b) Determine o ponto Q da reta A B tal que: a medida do segmento C Q é a altura do triângulo A B C relativa à base A B.
Q=(\square)

Passo 1

O enunciado dá os pontos \displaystyle A=(2,-5,5), \displaystyle B=(3,0,6) e \displaystyle C=(3,5,7)
e pede (a) a área do triângulo ABC e (b) o ponto Q na reta AB tal que CQ seja a altura relativa à base AB. Para a área usaremos produto vetorial; para Q, projeção ortogonal de C sobre AB.

Passo 2

Calculamos os vetores
AB = B - A = (1,5,1),\qquad AC = C - A = (1,10,2).

Passo 3

A área do triângulo é
\text{Área} = \tfrac12\,\|\,AB \times AC\|\,.Á
Vamos achar o produto vetorial:
AB \times AC = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&5&1\\\\ 1&10&2 \end{vmatrix} = (5\cdot2 - 1\cdot10,\;1\cdot1 - 1\cdot2,\;1\cdot10 - 5\cdot1) = (0,-1,5).

Passo 4

O módulo desse vetor é \displaystyle \sqrt{0^2+(-1)^2+5^2} = \sqrt{26}.
Logo
\text{Área} = \frac12\,\sqrt{26}.Á

Passo 5

Para encontrar Q, projetamos o vetor AC sobre AB. O parâmetro da reta é
t = \frac{AC\cdot AB}{\|AB\|^2} = \frac{1\cdot1 + 10\cdot5 + 2\cdot1}{1^2+5^2+1^2} = \frac{53}{27}.
Assim
Q = A + t\,AB.

Passo 6

Substituindo A e AB, obtemos
Q = (2,-5,5) + \frac{53}{27}(1,5,1) = \Bigl(2+\tfrac{53}{27},\,-5+\tfrac{265}{27},\,5+\tfrac{53}{27}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{107}{27},\,\tfrac{130}{27},\,\tfrac{188}{27}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \frac12\sqrt{26}
(b) \displaystyle Q=\bigl(\tfrac{107}{27},\,\tfrac{130}{27},\,\tfrac{188}{27}\bigr)

Exercícios relacionados