Determine as coordenadas dos focos da hipérbole x^{2}-2 y^{2}-6 x+8 y-1=0.

Passo 1

O enunciado pede os focos da curva de equação
x^{2} - 2y^{2} - 6x + 8y - 1 = 0,
que é uma hipérbole. Para encontrar os focos, vamos primeiro completar quadrados para pôr esta equação na forma canônica e, daí, identificar o centro (h,k), os parâmetros a e b, calcular c pela relação
c^{2} = a^{2} + b^{2}
e finalmente escrever as coordenadas dos focos.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e completando quadrados, temos
x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9,
-2y^{2} + 8y = -2\bigl(y^{2} - 4y\bigr) = -2\bigl((y - 2)^{2} - 4\bigr) = -2(y - 2)^{2} + 8.
Substituindo na equação original:
(x - 3)^{2} - 9 \;-\;2(y - 2)^{2} + 8 \;-\;1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 3)^{2} - 2(y - 2)^{2} -2 = 0.

Passo 3

Isolando o lado esquerdo igual a 1, dividimos tudo por 2:
\frac{(x - 3)^{2}}{2} \;-\;\frac{(y - 2)^{2}}{1} = 1.
Dessa forma, vemos que o centro é (h,k) = (3,2), e que
a^{2} = 2, \quad b^{2} = 1.

Passo 4

Para uma hipérbole horizontal, a distância focal c satisfaz
c^{2} = a^{2} + b^{2} = 2 + 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{3}.

Passo 5

Os focos ficam alinhados horizontalmente ao redor do centro (3,2), isto é, em
(h \pm c,\;k) = \bigl(3 \pm \sqrt{3},\,2\bigr).

Resposta

Os focos da hipérbole são
\bigl(3 + \sqrt{3},\,2\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(3 - \sqrt{3},\,2\bigr).

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