Item 1) Sobre uma pirâmide P A B C D sabe-se que: sua base A B C D é um paralelogramo de lados A B e A D medindo respectivamente 2 e 5 , o ângulo B A D mede 60 graus, o vetor \overrightarrow{P A} mede 5 e tem a direção e sentido do vetor \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}. Nessas condições, complete:
(a) |\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A P})|= \square
(b) Se \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}=m \overrightarrow{A P}, então m= \square
(c) |2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{B C}|^{2}= \square

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide PABC D cuja base ABCD é um paralelogramo com \lvert AB\rvert=2, \lvert AD\rvert=5 e \angle BAD=60^\circ. O vetor \overrightarrow{PA} tem módulo 5 e direção/sentido de \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}. Precisamos calcular:
(a) \bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP})\bigr|,
(b) o escalar m tal que \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=m\,\overrightarrow{AP},
(c) \bigl\lvert 2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}\bigr\rvert^2.

Passo 2

Calculemos primeiro o vetor \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}. Seu módulo é
\bigl\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr\rvert =\lvert AB\rvert\;\lvert AD\rvert\;\sin(60^\circ) =2\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}{2} =5\sqrt3.
Como \overrightarrow{PA} tem módulo 5 e a mesma direção de \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}, segue
\overrightarrow{PA} =\frac{5}{5\sqrt3}\,\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr) =\frac{1}{\sqrt3}\,\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr).
Logo
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} =\sqrt3\,\overrightarrow{PA}.

Passo 3

Para o triplo escalar temos
\bigl\lvert\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP})\bigr\rvert =\bigl\lvert\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AD}\times(-\overrightarrow{PA})\bigr)\bigr\rvert =\bigl\lvert\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{PA})\bigr\rvert.
Mas \overrightarrow{PA} é ortogonal ao plano ABD, então o módulo do triplo escalar é
\bigl\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr\rvert\; \bigl\lvert\overrightarrow{PA}\bigr\rvert =5\sqrt3\cdot5 =25\sqrt3.

Passo 4

Da relação
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} =\sqrt3\,\overrightarrow{PA},
e como \overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{PA}, segue
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} =-\sqrt3\,\overrightarrow{AP}.
Logo o escalar pedido é m=-\sqrt3.

Passo 5

No paralelogramo ABCD vale \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}. Assim
2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}
e
\bigl\lvert2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}\bigr\rvert^2 =4\lvert AB\rvert^2+9\lvert AD\rvert^2-12(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}).
Como \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2\cdot5\cdot\cos60^\circ=5, isso dá
4\cdot2^2+9\cdot5^2-12\cdot5 =16+225-60 =181.

Resposta

(a) 25\sqrt3
(b) -\sqrt3
(c) 181

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