Item 1) Sobre uma pirâmide P A B C D sabe-se que: sua base A B C D é um paralelogramo de lados A B e A D medindo respectivamente 3 e 4 , o ângulo B A D mede 60 graus, o vetor \overrightarrow{P A} mede 4 e tem a direção e sentido do vetor \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}. Nessas condições, complete:
(a) |\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A P})|=\square
(b) Se \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}=m \overrightarrow{A P}, então m=\square
(c) |2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{B C}|^{2}=\square
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide PABC D cuja base ABCD é um paralelogramo de lados \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD} medindo 3 e 4, com ângulo \angle BAD=60^\circ. O vértice P está tal que \overrightarrow{PA} tem comprimento 4 e é paralelo e no mesmo sentido de \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}. Para resolver, vamos usar:
A definição de produto misto \overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}) e suas propriedades cíclicas.
A relação entre vetores paralelos: se \overrightarrow{X}\parallel\overrightarrow{Y} então \overrightarrow{X}=k\,\overrightarrow{Y} com k=\tfrac{|\overrightarrow{X}|}{|\overrightarrow{Y}|}.
No paralelogramo, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.
Fórmula de norma ao quadrado: |\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|^2=|\overrightarrow{u}|^2+|\overrightarrow{v}|^2-2\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}.
(pelas propriedades cíclicas do produto misto). Como \overrightarrow{AP} é paralelo a \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} e \bigl|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr|=|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AD}|\sin60^\circ=3\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3, então