Item 1) Sobre uma pirâmide P A B C D sabe-se que: sua base A B C D é um paralelogramo de lados A B e A D medindo respectivamente 3 e 4 , o ângulo B A D mede 60 graus, o vetor \overrightarrow{P A} mede 4 e tem a direção e sentido do vetor \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}. Nessas condições, complete:
(a) |\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A P})|= \square
(b) Se \overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A D}=m \overrightarrow{A P}, então m= \square
(c) |2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{B C}|^{2}= \square

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide PABC D cuja base ABCD é um paralelogramo de lados \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD} medindo 3 e 4, com ângulo \angle BAD=60^\circ. O vértice P está tal que \overrightarrow{PA} tem comprimento 4 e é paralelo e no mesmo sentido de \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}. Para resolver, vamos usar:
  1. A definição de produto misto \overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}) e suas propriedades cíclicas.
  2. A relação entre vetores paralelos: se \overrightarrow{X}\parallel\overrightarrow{Y} então \overrightarrow{X}=k\,\overrightarrow{Y} com k=\tfrac{|\overrightarrow{X}|}{|\overrightarrow{Y}|}.
  3. No paralelogramo, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.
  4. Fórmula de norma ao quadrado: |\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|^2=|\overrightarrow{u}|^2+|\overrightarrow{v}|^2-2\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}.

Passo 2

Para (a), note que
\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP})\bigr| =\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\bigr|
(pelas propriedades cíclicas do produto misto). Como \overrightarrow{AP} é paralelo a \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} e \bigl|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr|=|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AD}|\sin60^\circ=3\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3, então
\bigl|\overrightarrow{AP}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\bigr| =|\overrightarrow{AP}|\;\bigl|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr| =4\cdot6\sqrt3=24\sqrt3.

Passo 3

Para (b), escrevemos
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=m\,\overrightarrow{AP}.
Tomando normas em ambos os lados e lembrando que \overrightarrow{AP} e \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} têm mesma direção e sentido, vem
m=\frac{\bigl|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\bigr|}{|\overrightarrow{AP}|} =\frac{6\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}.

Passo 4

Para (c), como \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, temos
2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}.
Logo
\bigl|2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}\bigr|^2 =4|\overrightarrow{AB}|^2+9|\overrightarrow{AD}|^2-12\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}.
Sabendo |\overrightarrow{AB}|=3, |\overrightarrow{AD}|=4 e \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=3\cdot4\cdot\cos60^\circ=6, obtemos
4\cdot9+9\cdot16-12\cdot6=36+144-72=108.

Resposta

(a) 24\sqrt3
(b) \tfrac{3\sqrt3}{2}
(c) 108

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