Dados os vetores V=(2,1,0), Z=(3,-1,1) e T=(-2,0,2) do espaço, faça o que se pede:
( 15 pontos) Obtenha um vetor de norma igual a 12 \sqrt{2} que seja simultaneamente ortogonal a Z e T.

Passo 1

O enunciado dá os vetores V=(2,1,0), Z=(3,-1,1) e T=(-2,0,2) e pede um vetor de norma 12\sqrt{2} que seja ortogonal a Z e T. Para garantir ortogonalidade a dois vetores em \mathbb{R}^3, vamos usar o produto vetorial Z\times T e depois escalá-lo para ter a norma desejada.

Passo 2

Calcular o produto vetorial
Z\times T = \bigl((-1)\cdot2 - 1\cdot0,\; - \bigl(3\cdot2 - 1\cdot(-2)\bigr),\; 3\cdot0 -(-1)\cdot(-2)\bigr) = (-2,\,-8,\,-2).

Passo 3

Determinar a norma de \mathbf{n}=(-2,-8,-2):
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.

Passo 4

Para escalar \mathbf{n} e obter norma 12\sqrt{2}, calculamos
\alpha = \frac{12\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 2.
Então o vetor procurado é
\mathbf{v} = \alpha\,\mathbf{n} = 2\,(-2,-8,-2) = (-4,\,-16,\,-4),
que de fato satisfaz \|\mathbf{v}\|=12\sqrt{2} e \mathbf{v}\perp Z,\mathbf{v}\perp T.

Resposta

\displaystyle (-4,-16,-4)

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