. ( 15 pontos) Considere U, V=(2,-1,0) e W=(-2,0,2) vetores do espaço, onde U é paralelo a T=(-3,6,0). Sabendo que o volume do paralelepípedo determinado por U, V e W é 12 unidades de volume, encontre o vetor U (há 2 possibilidades).

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\;V=(2,-1,0), \;W=(-2,0,2) e um vetor T=(-3,6,0) que define a direção de U. Precisamos achar U paralelo a T tal que o volume do paralelepípedo formado por U,V,W seja 12. Para isso vamos usar o produto misto
\bigl|\det(U,V,W)\bigr|=12.

Passo 2

Como U é paralelo a T, escrevemos
U = \lambda\,T
para algum escalar \lambda. Então
\bigl|\det(U,V,W)\bigr| =\bigl|\det(\lambda T,V,W)\bigr| =\bigl|\lambda\det(T,V,W)\bigr| =12
ou seja
|\lambda|\;\bigl|\det(T,V,W)\bigr|=12.

Passo 3

Vamos computar \det(T,V,W) pelo produto misto \;T\cdot(V\times W). Primeiro o produto vetorial:
V\times W =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&-1&0\\\\ -2&0&2 \end{vmatrix} =(-2,\,-4,\,-2).
Depois o produto escalar com T=(-3,6,0):
T\cdot(V\times W) =(-3)\cdot(-2)+6\cdot(-4)+0\cdot(-2) =6-24+0=-18.
Logo \det(T,V,W)=-18 e \bigl|\det(T,V,W)\bigr|=18.

Passo 4

Substituindo em \;|\lambda|\cdot 18=12\; obtemos
|\lambda|=\frac{12}{18}=\frac{2}{3},
ou seja \lambda=\pm\frac{2}{3}.

Passo 5

Finalmente, como U=\lambda T, temos as duas soluções
U_1=\tfrac{2}{3}(-3,6,0)=(-2,4,0), \quad U_2=-\tfrac{2}{3}(-3,6,0)=(2,-4,0).

Resposta

\;U=(-2,4,0) ou \;U=(2,-4,0).

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