Obter a excentricidade da hipérbole x^{2}-3 y^{2}+2 x+24 y=44.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole em forma geral
x^{2}-3y^{2}+2x+24y=44
e pede a excentricidade. O conteúdo necessário é classificação de cônicas e completar quadrados para escrever a hipérbole em forma reduzida, de onde identificamos a^{2} e b^{2}.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
x^{2}+2x-3\bigl(y^{2}-8y\bigr)=44.
Para x^{2}+2x:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Para -3(y^{2}-8y):
y^{2}-8y = (y-4)^{2}-16 \quad\Longrightarrow\quad -3\bigl(y^{2}-8y\bigr)=-3(y-4)^{2}+48.

Passo 3

Substituindo na equação original:
(x+1)^{2}-1 \;-\;3(y-4)^{2}+48 =44 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{2}-3(y-4)^{2}+47=44
\Longrightarrow\quad (x+1)^{2}-3(y-4)^{2}=-3 \quad\Longrightarrow\quad 3(y-4)^{2}-(x+1)^{2}=3.
Dividindo ambos os lados por 3:
\frac{(y-4)^{2}}{1}-\frac{(x+1)^{2}}{3}=1.

Passo 4

Na forma padrão
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1
temos a^{2}=1 e b^{2}=3. Para hipérbole vertical, a excentricidade é
e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}.

Passo 5

Substituindo a^{2}=1 e b^{2}=3:
e=\sqrt{1+\frac{3}{1}} =\sqrt{4} =2.

Resposta

A excentricidade da hipérbole é 2.

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