Nos items abaixo, calcule as integrais integralgamma f(x, y) d s, integralgamma f(x, y) d x, integralgamma f(x, y) d y, onde gamma está definida parametricamente como indicado.
(a) f(x, y)=x^3+y ; x(t)=3 t, y(t)=t^3 ; 0 <= t <= 1

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular as integrais de linha integralgamma f(x,y),ds, integralgamma f(x,y),dx e integralgamma f(x,y),dy para a curva paramétrica dada por x(t)=3t, y(t)=t^3 com 0<= t<=1. O conteúdo envolve integrais de linha aplicadas a funções escalares.

Passo 2

Primeiro, determinamos os vetores velocidade e o diferencial de arco. Temos
x'(t)=3, y'(t)=3t^2,
portanto o vetor velocidade é r'(t)=lang<=3,3t^2rang<= e
ds=|r'(t)|,dt=raiz3^2+(3t^2)^2,dt=3raiz1+t^4,dt

Passo 3

Agora, substituímos na integral integralgamma f(x,y),ds. A função along a curva é
f(x(t),y(t))=(3t)^3+t^3=27t^3+t^3=28t^3

Passo 4

Logo
integralgamma f,ds=integral0^1 28t^3cdot3raiz1+t^4,dt=84integral0^1 t^3raiz1+t^4,dt

Passo 5

Para resolver este integral usamos a substituição u=1+t^4, então du=4t^3,dt e quando t=0 temos u=1, quando t=1 temos u=2. Assim
84integral0^1 t^3raiz1+t^4,dt=84integralu=1^2 raizu4,du=21integral1^2 u^1/2,du=21l[tfrac23u^3/2r]1^2=14l(2raiz2-1r)

Passo 6

Para integralgamma f(x,y),dx, usamos dx=x'(t),dt=3,dt. Então
integralgamma f,dx=integral0^1 28t^3cdot3,dt=84integral0^1 t^3,dt=84cdottfrac14=21

Passo 7

Para integralgamma f(x,y),dy, temos dy=y'(t),dt=3t^2,dt. Portanto
integralgamma f,dy=integral0^1 28t^3cdot3t^2,dt=84integral0^1 t^5,dt=84cdottfrac16=14

Resposta

integralgamma f,ds=14l(2raiz2-1r), integralgamma f,dx=21, integralgamma f,dy=14

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