Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
x^2+y^2=16, x=z, y=0, z=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, com x≥0, y≥0, z≥0) e é limitado pelas superfícies:
– o cilindro x²+y²=16,
– o plano x=z,
– o plano y=0,
– o plano z=0.
Esse problema envolve montar e avaliar uma integral tripla para volume.

Passo 2

Para descrever a região de integração, note que:
– No primeiro octante temos 0 ≤ x ≤ ?, 0 ≤ y ≤ ?, 0 ≤ z ≤ ?;
– O cilindro x²+y²=16 impõe 0 ≤ y ≤ √(16–x²) e fixa que x varia de 0 a 4;
– O plano x=z implica que, para cada (x,y), 0 ≤ z ≤ x;
– Os planos y=0 e z=0 dão os limites inferiores y=0 e z=0.
Logo os limites são:
0 <= x <= 4, 0 <= y <= raiz16 - x^2, 0 <= z <= x

Passo 3

O volume V é dado pela integral tripla
V=integralx=0^4 integraly=0^raiz16 - x^2 integralz=0^x dz,dy,dx

Passo 4

Primeiro, integramos em z:
integralz=0^x dz = x
Substituindo na integral, ficamos com
V=integral0^4 integral0^raiz16 - x^2 x,dy,dx

Passo 5

Em seguida, integramos em y:
integraly=0^raiz16 - x^2 x,dy = x cdot raiz16 - x^2
Assim
V=integral0^4 xraiz16 - x^2,dx

Passo 6

Para calcular integral0^4 xraiz16 - x^2,dx, use a substituição
u = 16 - x^2, du = -2x,dx Rightarrow -tfrac12 du = x,dx
Quando x=0, u=16; quando x=4, u=0. Logo:
V = integral0^4 xraiz16 - x^2,dx = -tfrac12 integralu=16^0 u^1/2,du = tfrac12 integral0^16 u^1/2,du

Passo 7

Agora basta avaliar:
tfrac12 integral0^16 u^1/2,du = tfrac12 cdot tfrac23 u^3/2 |0^16 = tfrac13 l(16r)^3/2 = tfrac13 cdot 64 = tfrac643

Resposta

643

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