Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, com x≥0, y≥0, z≥0) e é limitado pelas superfícies:
– o cilindro x²+y²=16,
– o plano x=z,
– o plano y=0,
– o plano z=0.
Esse problema envolve montar e avaliar uma integral tripla para volume.
– o cilindro x²+y²=16,
– o plano x=z,
– o plano y=0,
– o plano z=0.
Esse problema envolve montar e avaliar uma integral tripla para volume.
Passo 2
Para descrever a região de integração, note que:
– No primeiro octante temos 0 ≤ x ≤ ?, 0 ≤ y ≤ ?, 0 ≤ z ≤ ?;
– O cilindro x²+y²=16 impõe 0 ≤ y ≤ √(16–x²) e fixa que x varia de 0 a 4;
– O plano x=z implica que, para cada (x,y), 0 ≤ z ≤ x;
– Os planos y=0 e z=0 dão os limites inferiores y=0 e z=0.
Logo os limites são:
– No primeiro octante temos 0 ≤ x ≤ ?, 0 ≤ y ≤ ?, 0 ≤ z ≤ ?;
– O cilindro x²+y²=16 impõe 0 ≤ y ≤ √(16–x²) e fixa que x varia de 0 a 4;
– O plano x=z implica que, para cada (x,y), 0 ≤ z ≤ x;
– Os planos y=0 e z=0 dão os limites inferiores y=0 e z=0.
Logo os limites são:
Passo 3
O volume V é dado pela integral tripla
Passo 4
Primeiro, integramos em z:
Substituindo na integral, ficamos com
Passo 5
Em seguida, integramos em y:
Assim
Passo 6
Para calcular
, use a substituição
Quando x=0, u=16; quando x=4, u=0. Logo:
Passo 7
Agora basta avaliar: