Para os números complexos z, z1, z2 e z3, faça corresponder a primeira coluna à segunda.
( 18 ) z1^3+3 z1^2 z2+3 z1 z2^2+z2^3
( ) .

Passo 1

Neste exercício a gente vai casar a expressão (z1+z2)^3 com sua expansão. O conteúdo aqui é o teorema binomial, que nos dá uma fórmula geral para (a+b)^n. Vamos precisar conhecer os coeficientes binomiais binomnk.

Passo 2

Pelo teorema binomial, temos a fórmula:
(a+b)^n = sumk=0^n binomnk ,a^n-k ,b^k
Aqui, definimos a = z1, b = z2 e n = 3.

Passo 3

Substituindo n=3 na soma acima, obtemos:
(z1+z2)^3 = sumk=0^3 binom3k ,z1^3-k ,z2^k
Os coeficientes binomiais são binom30=1, binom31=3, binom32=3 e binom33=1.

Passo 4

Por fim, montando a soma com esses valores, fica:
(z1+z2)^3 = 1,z1^3 + 3,z1^2 z2 + 3,z1 z2^2 + 1,z2^3 = z1^3 + 3z1^2 z2 + 3z1 z2^2 + z2^3
Logo, essa expressão é a correspondência certa.

Resposta

z1^3 + 3z1^2 z2 + 3z1 z2^2 + z2^3

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