Sendo a densidade constante, calcule o momento de inércia
da lâmina triangular limitada pela reta
e os eixos
e
.
R.
, onde
é a massa da placa.
R.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o momento de inércia da lâmina triangular de densidade superficial constante em relação ao eixo x. O triângulo é limitado por x=0, y=0 e x+y=a. Para isso vamos usar teoria de integrais duplas e a definição de momento de inércia para lâminas planas.
Passo 2
O momento de inércia em relação ao eixo x é dado por
i_x=∬_R y^2 dm, onde dm=σ dA e σ é a densidade superficial constante.
i_x=∬_R y^2 dm, onde dm=σ dA e σ é a densidade superficial constante.
Passo 3
Precisamos descrever a região R em coordenadas cartesianas. Para cada y∈[0,a], x varia de 0 até a−y. Assim montamos o integral:
Fazendo a integral interna em x:
Passo 4
Agora expandimos e integramos em y:
Passo 5
Então
Passo 6
A massa total M da lâmina é M=σ·Área e a área do triângulo é A=\tfrac{a^2}{2}, logo σ=2M/a^2. Substituindo em I_x: