Sendo a densidade constante, calcule o momento de inércia Ix da lâmina triangular limitada pela reta x+y=a e os eixos x=0 e y=0.
R. 1 / 6 M a^2, onde M é a massa da placa.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento de inércia da lâmina triangular de densidade superficial constante em relação ao eixo x. O triângulo é limitado por x=0, y=0 e x+y=a. Para isso vamos usar teoria de integrais duplas e a definição de momento de inércia para lâminas planas.

Passo 2

O momento de inércia em relação ao eixo x é dado por
i_x=∬_R y^2 dm, onde dm=σ dA e σ é a densidade superficial constante.

Passo 3

Precisamos descrever a região R em coordenadas cartesianas. Para cada y∈[0,a], x varia de 0 até a−y. Assim montamos o integral:
Ix=σintegraly=0^aintegralx=0^a-yy^2dxdy
Fazendo a integral interna em x:

Passo 4

Ix=σintegral0^ay^2igl(a−yr)dy 
Agora expandimos e integramos em y:

Passo 5

integral0^ay^2(a−y)dy=integral0^a(ay^2−y^3)dy=l[ay^33−y^44r]0^a=a^4l(13−14r)=a^412
Então
Ix=σa^412

Passo 6

A massa total M da lâmina é M=σ·Área e a área do triângulo é A=\tfrac{a^2}{2}, logo σ=2M/a^2. Substituindo em I_x:

Passo 7

Ix=2Ma^2·a^412=2Ma^212=Ma^26

Resposta

tfrac16M a^2

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