Seja
a fronteira da região no interior da circunferência
e no exterior do quadrado de vértices
e
, orientadas positivamente. Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular o contorno
de f(z)=(z+2)/\sin(z/2), onde B é a fronteira da região interna ao círculo |z|=4 e externa ao quadrado de vértices x=±1, y=±1, orientada positivamente. O conteúdo é aplicação do Teorema dos Resíduos em domínio múltiplo-conexo.
Passo 2
Identificamos que B é composta por duas curvas: o círculo |z|=4 (orientado CCW) e o contorno do quadrado (orientado CW), de modo que a região a esquerda da curva é o interior do círculo menos o interior do quadrado.
Passo 3
O Teorema dos Resíduos em domínio múltiplo-conexo diz que
Passo 4
Precisamos achar os pólos de f. Eles vêm dos zeros de
, isto é quando
Passo 5
Verificamos quais ficam na região interior ao círculo |z|<4 mas fora do quadrado |Re(z)|,|Im(z)|≤1. Para k=0 temos z=0, mas 0 está dentro do quadrado (região excluída). Para k=±1 temos z=±2\pi≈±6{,}28, que está fora de |z|<4. Logo não há pólos de f dentro da região.
Passo 6
Como não há pólos de f na região considerada, a soma de resíduos é zero e, pelo Teorema dos Resíduos, concluímos que o integral é zero.
Resposta
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