Seja p uma constante positiva. Determine os valores de p para os quais a integral imprópria
integral0^1 d x(1-x)^p
é convergente e aqueles para os quais é divergente .

Passo 1

O enunciado pede para determinar, dada a constante positiva p, para quais valores de p a integral imprópria
integral0^1dx(1-x)^p
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de integral imprópria com singularidade do tipo potência em x=1.

Passo 2

Reconhecemos que o único ponto de “problema” é x=1, pois (1-x)^-ptoinfty quando xto1^-. Logo reescrevemos a integral como limite
integral0^1dx(1-x)^p =limbto1^-integral0^bdx(1-x)^p,

Passo 3

Para pneq1 calculamos a integral indefinida. Faça a substituição
u=1-x, du=-dx,
logo
integraldx(1-x)^p =integral-,duu^p =-integral u^-p,du =-u^-p+1-p+1 =u^1-p1-p
Portanto, para b<1,
integral0^bdx(1-x)^p =(1-x)^1-p1-p|0^b =(1-b)^1-p-11-p

Passo 4

Agora analisamos o limite quando bto1^-:
  • Se p<1 então 1-p>0 e (1-b)^1-pto0. Logo
limbto1^-(1-b)^1-p-11-p =0-11-p=-11-p,
que é finito. A integral converge.
  • Se p>1 então 1-p<0 e (1-b)^1-pto+infty. Logo a integral diverge.

Passo 5

No caso especial p=1 temos
integraldx1-x =-ln(1-x),
então
integral0^bdx1-x =-ln(1-b)-l(-ln1r) =-ln(1-b)
Ao fazermos bto1^- obtemos -ln0^+=+infty, logo diverge.

Resposta

Converge se, e somente se, 0<p<1. Diverge para p>=1.

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