Seja
uma constante positiva. Determine os valores de
para os quais a integral imprópria
é convergente e aqueles para os quais é divergente .
Passo 1
O enunciado pede para determinar, dada a constante positiva
, para quais valores de
a integral imprópria
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de integral imprópria com singularidade do tipo potência em
.
Passo 2
Reconhecemos que o único ponto de “problema” é
, pois
quando
. Logo reescrevemos a integral como limite
Passo 3
Para
calculamos a integral indefinida. Faça a substituição
logo
Portanto, para
,
Passo 4
Agora analisamos o limite quando
bto1^- :
- Se
entãop<1 e1-p>0 . Logo(1-b)^1-pto0
que é finito. A integral converge.
- Se
entãop>1 e1-p<0 . Logo a integral diverge.(1-b)^1-pto+infty
Passo 5
No caso especial
p=1 temos
então
Ao fazermos
bto1^- obtemos
-ln0^+=+infty , logo diverge.
Resposta
Converge se, e somente se,
0<p<1 . Diverge para
p>=1 .