Mostre que as sequências são monótona e limitada, portanto, convergente. Calcule o seu limite.
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Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrarmos que ela é monótona e limitada (daí convergente) e calcular seu limite. O conteúdo envolve análise de monotonicidade, cotas e o Teorema da convergência de sequências monotônicas limitadas.
Passo 2
Para verificar a monotonicidade, comparamos termos consecutivos:
Como para todo
vale
segue que
Logo
é monótona decrescente.
Passo 3
Para mostrar que está limitada, notamos que para todo
temos
, então
ou seja,
é uma cota inferior. Além disso,
e a sequência é decrescente, logo
para todo
. Assim
está limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 4
Pela propriedade de que toda sequência monótona e limitada converge, concluímos que
é convergente.
Passo 5
Para achar o limite
, usemos que
. Então
Resposta
A sequência
é monótona decrescente, limitada em
, portanto convergente, e seu limite é
.