Mostre que as sequências são monótona e limitada, portanto, convergente. Calcule o seu limite.
an=5+1n;

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 5 + 1n,
e pede para mostrarmos que ela é monótona e limitada (daí convergente) e calcular seu limite. O conteúdo envolve análise de monotonicidade, cotas e o Teorema da convergência de sequências monotônicas limitadas.

Passo 2

Para verificar a monotonicidade, comparamos termos consecutivos:
an+1 = 5 + 1n+1, an = 5 + 1n
Como para todo n>=1 vale
1n+1 < 1n,
segue que
an+1 < an
Logo l(anr) é monótona decrescente.

Passo 3

Para mostrar que está limitada, notamos que para todo n>=1 temos tfrac1n>0, então
an = 5 + 1n > 5,
ou seja, 5 é uma cota inferior. Além disso, a1=6 e a sequência é decrescente, logo
an<= a1=6
para todo n. Assim l(anr) está limitada inferiormente por 5 e superiormente por 6.

Passo 4

Pela propriedade de que toda sequência monótona e limitada converge, concluímos que l(anr) é convergente.

Passo 5

Para achar o limite L, usemos que
limntoinfty1n=0. Então
L = limntoinftyan = limntoinftyl(5 + tfrac1nr) = 5 + 0 = 5

Resposta

A sequência an=5+1n é monótona decrescente, limitada em [5,6], portanto convergente, e seu limite é 5.

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