Sendo
um inteiro qualquer, mostre que:
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que, para qualquer número inteiro
, o produto
é divisível por
. Aqui, estamos trabalhando com divisibilidade e propriedades dos números inteiros. Vamos precisar entender que entre dois números inteiros consecutivos, sempre tem pelo menos um que é par.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa um número ser par. Um número é par se ele pode ser dividido por
, ou seja, se ele pode ser escrito na forma
, onde
é algum número inteiro.
Passo 3
Agora, consideremos os números
e
. Eles são dois números inteiros consecutivos. Isso significa que, um deles é par e o outro é ímpar. Vamos ver os dois casos possíveis.
Passo 4
Caso 1: Suponha que
seja par. Então, podemos escrever
para algum inteiro
. Assim, o produto fica:
Como
tem um fator
, isso mostra que
é divisível por
.
Passo 5
Caso 2: Suponha que
seja ímpar. Nesse caso,
será par. Podemos escrever
para algum inteiro
. Então, o produto fica:
Novamente, temos um fator
, o que mostra que
é divisível por
.
Resposta
Portanto, para qualquer número inteiro
, o produto
é divisível por
.