Nos itens abaixo admita que a in R, com a>0, n in N, e verifique as seguintes identidades:
(e) L(e^a t sen b t)=b(s-a)^2+b^2, com s>a

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de e^a tsin(b t), onde a>0 e ninN. O conteúdo é transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no domínio s. Vamos usar a definição integral e depois aplicar um resultado padrão.

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace, temos
Le^a tsin(b t)(s)=integral0^inftye^-stl(e^a tsin(b t)r),dt=integral0^inftye^-(s-a)tsin(b t),dt

Passo 3

Para avaliar esse integral, lembramos do resultado padrão de integrais impróprias: se Re(k)>0, então
integral0^inftye^-k tsin(b t),dt=bk^2+b^2
Aqui a convergência exige s-a>0, ou seja, s>a.

Passo 4

Basta agora identificar k=s-a e substituir no resultado padrão. Isso dá
integral0^inftye^-(s-a)tsin(b t),dt=b(s-a)^2+b^2
Portanto concluímos a identidade desejada.

Resposta

b(s-a)^2+b^2

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