Sejam
, com
. Mostre que se
, então
e
deixam o mesmo resto quando divididos por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dados inteiros
com
e sabendo que
, os restos da divisão de
e de
por
são iguais. O conteúdo principal é o Teorema da Divisão com Resto e uma propriedade simples de divisibilidade.
Passo 2
Aplicar o Teorema da Divisão a
e
. Isso diz que existem inteiros únicos
tais que
com
Passo 3
Subtrair as duas expressões para relacionar
aos restos. Temos
Como é dado que
, o mesmo
deve dividir o lado direito. Como
já divide
, concluímos que
Passo 4
Observar que
por causa dos intervalos de
e
. A única forma de um inteiro de valor absoluto menor que
ser múltiplo de
(com
) é ser zero. Logo
Passo 5
Como os restos
e
coincidem, concluímos que
e
deixam o mesmo resto quando divididos por
.
Resposta
Os restos da divisão de
e de
por
são iguais, ou seja, se
então o resto de
em divisão por
coincide com o resto de
.