Sejam a, b, m in Z, com m neq 0. Mostre que se m mid b-a, então a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados inteiros a,b,m com mneq0 e sabendo que mmid(b-a), os restos da divisão de a e de b por m são iguais. O conteúdo principal é o Teorema da Divisão com Resto e uma propriedade simples de divisibilidade.

Passo 2

Aplicar o Teorema da Divisão a a e b. Isso diz que existem inteiros únicos q, r, q', r' tais que
a = m,q + r
b = m,q' + r'
com
0 <= r < |m| e 0 <= r' < |m|

Passo 3

Subtrair as duas expressões para relacionar b - a aos restos. Temos
b - a = l(mq' + r'r) - l(mq + rr) = m,(q' - q) + (r' - r)
Como é dado que mmid(b-a), o mesmo m deve dividir o lado direito. Como m já divide m(q'-q), concluímos que
m mid (r' - r)

Passo 4

Observar que |r' - r| < |m| por causa dos intervalos de r e r'. A única forma de um inteiro de valor absoluto menor que |m| ser múltiplo de m (com mneq0) é ser zero. Logo
r' - r = 0 implies r' = r

Passo 5

Como os restos r e r' coincidem, concluímos que a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m.

Resposta

Os restos da divisão de a e de b por m são iguais, ou seja, se mmid(b-a) então o resto de a em divisão por m coincide com o resto de b.

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