Mostre que, se
e
, então
, onde
e
são inteiros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação pra provar: se um número inteiro $ a $ divide tanto $ 2x - 3y $ quanto $ 4x - 5y $, então $ a $ também divide $ y $. Vamos precisar conhecer um pouco sobre divisibilidade e como manipular essas expressões para chegar na conclusão. Basicamente, vamos usar propriedades de divisores e combinar as duas equações que a gente tem para isolar $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que significa $ a \mid (2x - 3y) $ e $ a \mid (4x - 5y) $. Isso quer dizer que existem inteiros $ k $ e $ m $ tais que:
Essas equações mostram que as combinações lineares de $ x $ e $ y $ são múltiplos de $ a $.
Passo 3
Agora, vamos manipular essas duas equações para eliminar $ x $ e conseguir uma relação só com $ y $. Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 2:
Agora temos:
Passo 4
Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito fica:
Então, temos:
Passo 5
Agora, queremos isolar $ y $. Multiplicando ambos os lados por -1:
Isso mostra que $ y $ é um múltiplo de $ a $, já que $ -a(2k - m) $ é claramente divisível por $ a $.
Resposta
Portanto, concluímos que $ a \mid y $.