Mostre que, se a mid(2 x-3 y) e a mid(4 x-5 y), então a mid y, onde a, x e y são inteiros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação pra provar: se um número inteiro $ a $ divide tanto $ 2x - 3y $ quanto $ 4x - 5y $, então $ a $ também divide $ y $. Vamos precisar conhecer um pouco sobre divisibilidade e como manipular essas expressões para chegar na conclusão. Basicamente, vamos usar propriedades de divisores e combinar as duas equações que a gente tem para isolar $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que significa $ a \mid (2x - 3y) $ e $ a \mid (4x - 5y) $. Isso quer dizer que existem inteiros $ k $ e $ m $ tais que:
a mid (2x - 3y)
a mid (4x - 5y)
Essas equações mostram que as combinações lineares de $ x $ e $ y $ são múltiplos de $ a $.

Passo 3

Agora, vamos manipular essas duas equações para eliminar $ x $ e conseguir uma relação só com $ y $. Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 2:
x
Agora temos:
y
2(2x - 3y) = 2a cdot k Rightarrow 4x - 6y = 2a cdot k

Passo 4

Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(4x - 6y) - (4x - 5y) = 2a cdot k - a cdot m
Simplificando o lado esquerdo:
4x - 6y - 4x + 5y = -y
E o lado direito fica:
2a cdot k - a cdot m = a(2k - m)
Então, temos:
-y = a(2k - m)

Passo 5

Agora, queremos isolar $ y $. Multiplicando ambos os lados por -1:
y
Isso mostra que $ y $ é um múltiplo de $ a $, já que $ -a(2k - m) $ é claramente divisível por $ a $.

Resposta

Portanto, concluímos que $ a \mid y $.

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