Sendo
um inteiro qualquer, mostre que:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, para qualquer número inteiro $ a $, o produto $ a(a+1)(a+2) $ é divisível por 3. Ou seja, quando dividirmos esse produto por 3, o resto será zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de divisibilidade e propriedades dos números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número inteiro dividido por 3 deixa um resto de 0, 1 ou 2. Isso significa que $ a $ pode ser classificado em três casos diferentes dependendo do seu valor módulo 3:
- $ a \equiv 0 \pmod{3} $ (ou seja, $ a $ é múltiplo de 3)
- $ a \equiv 1 \pmod{3} $
- $ a \equiv 2 \pmod{3} $
Passo 3
Vamos analisar cada caso para ver se $ 3 $ divide o produto $ a(a+1)(a+2) $:
Caso 1: $ a \equiv 0 \pmod{3} $
- Se $ a $ é múltiplo de 3, então $ a = 3k $ para algum inteiro $ k $.
- O produto fica $ 3k \cdot (3k+1) \cdot (3k+2) $.
- Claramente, $ 3k $ é múltiplo de 3, então o produto todo também é múltiplo de 3.
Caso 2: $ a \equiv 1 \pmod{3} $
- Aqui, $ a = 3k+1 $.
- O produto fica $ (3k+1) \cdot (3k+2) \cdot (3k+3) $.
- Note que $ 3k+3 = 3(k+1) $, que é múltiplo de 3.
- Portanto, o produto também será múltiplo de 3.
Caso 3: $ a \equiv 2 \pmod{3} $
- Neste caso, $ a = 3k+2 $.
- O produto fica $ (3k+2) \cdot (3k+3) \cdot (3k+4) $.
- Novamente, $ 3k+3 = 3(k+1) $ é múltiplo de 3.
- Então, o produto é múltiplo de 3.
Passo 4
Em todos os casos possíveis para $ a $, o produto $ a(a+1)(a+2) $ sempre inclui um múltiplo de 3. Isso garante que o produto todo seja divisível por 3.
Resposta
Portanto, para qualquer inteiro $ a $, o número $ 3 $ divide o produto $ a(a+1)(a+2) $.