Nos itens abaixo, calcular as integrais usando o método da substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
As informações relevantes que temos são:
- A função que está sendo elevada à potência é
. - Multiplica essa potência o fator linear
. - Queremos a primitiva (antiderivada) indefinida dessa função, i.e., uma função
tal que .
A resolução real começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos tentar ver se uma substituição simples do tipo
funciona, onde
é a parte elevada a uma potência. A ideia padrão (método da substituição) é escolher
igual ao polinômio dentro da potência, porque então
costuma aparecer proporcional a um fator linear. Assim, proponho a substituição
Agora calculamos
. Diferenciando em relação a
:
ou seja
Observação didática: quando fazemos
, queremos que o diferencial
seja proporcional à parte multiplicativa que acompanha
no integrando. Aqui o diferencial tem o fator
, enquanto o integrando tem o fator
; portanto não batem diretamente. Ainda assim, essa escolha é a mais natural para começar, porque frequentemente conseguimos manipular o fator multiplicativo para escrever em termos de
.
Passo 3
Vamos tentar expressar o fator
como combinação de
(que aparece em
) mais uma constante, para separar uma parte que vira
e outra que resta. Procuramos
e
tais que
Igualando coeficientes: para
:
⇒
. Para a constante:
⇒
.
Logo
Logo
Substituindo isso no integrando obtemos
Agora separamos a integral em duas:
Passo 4
A primeira integral da soma é diretamente tratável com a substituição
, pois
. Assim:
Voltando para
,
Passo 5
Agora resta a outra integral que apareceu na separação:
Vamos chamá-la de
, ou seja
Assim, a integral original
ficou expressa como
Neste ponto, fazemos uma observação importante e didática: a substituição direta
transforma
em
, mas não transforma diretamente
sozinho em algo puramente em
(pois
e aí sobra
). Portanto a integral
não é trivial com essa única substituição; para computá-la em termos elementares é necessário resolver uma integral de uma potência de um polinômio quadrático sem o fator que corresponde à sua derivada, o que em geral conduz a expressões envolvendo funções racionais combinadas com funções logarítmicas e/ou arctangente (dependendo se o quadrático é fatorável sobre os reais ou não). Aqui o quadrático é
, que é irreducível em fatores lineares racionais simples, logo
não se reduz a uma primitiva imediata por uma única substituição linear simples.
Passo 6
Para fechar a resolução de forma didática: a estratégia padrão de substituição deu uma expressão útil que separa a integral em uma parte imediata (que já integramos) e outra parte
mais complicada. Em muito exercícios de prova, o objetivo era exatamente reconhecer a possibilidade de extrair a parte
para transformar uma porção da integral via
; ou então o enunciado originalmente trazia o fator
(ou
até constantes) em vez de
, o que tornaria toda a integral direta. Aqui, com o fator
, a melhor escrita que podemos obter por substituição é a relação
Essa identidade já é útil na prova: ela mostra que parte da integral é imediata e que sobrou uma integral do mesmo tipo sem o fator linear, que normalmente exigiria um método diferente (por exemplo, decomposição em paridade, substituições sucessivas, ou uma antiderivada expressa por combinações de potências e funções elementares como arctan e log, se necessário).