Nos itens abaixo, calcular as integrais usando o método da substituição:
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10}(2 x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10}(2 x-1)\,d x.
As informações relevantes que temos são:
  • A função que está sendo elevada à potência é \;2x^{2}+2x-3\;.
  • Multiplica essa potência o fator linear \;2x-1\;.
  • Queremos a primitiva (antiderivada) indefinida dessa função, i.e., uma função F(x) tal que F'(x)=(2 x^{2}+2 x-3)^{10}(2 x-1).
    A resolução real começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos tentar ver se uma substituição simples do tipo u=g(x) funciona, onde u é a parte elevada a uma potência. A ideia padrão (método da substituição) é escolher u igual ao polinômio dentro da potência, porque então du costuma aparecer proporcional a um fator linear. Assim, proponho a substituição
u = 2x^{2} + 2x - 3.
Agora calculamos du. Diferenciando em relação a x:
\frac{du}{dx} = 4x + 2,
ou seja
du = (4x+2)\,dx = 2(2x+1)\,dx.
Observação didática: quando fazemos u=g(x), queremos que o diferencial du seja proporcional à parte multiplicativa que acompanha g(x)^{n} no integrando. Aqui o diferencial tem o fator 4x+2, enquanto o integrando tem o fator 2x-1; portanto não batem diretamente. Ainda assim, essa escolha é a mais natural para começar, porque frequentemente conseguimos manipular o fator multiplicativo para escrever em termos de du.

Passo 3

Vamos tentar expressar o fator (2x-1) como combinação de 4x+2 (que aparece em du) mais uma constante, para separar uma parte que vira du e outra que resta. Procuramos A e B tais que
2x-1 = A(4x+2) + B.
Igualando coeficientes: para x: 2 = 4A A=\tfrac12. Para a constante: -1 = 2A + B = 1 + B B=-2.
Logo
2x-1 = \tfrac12(4x+2) - 2.
Substituindo isso no integrando obtemos
\int (2x^{2}+2x-3)^{10}(2x-1)\,dx = \int (2x^{2}+2x-3)^{10}\Big(\tfrac12(4x+2) - 2\Big)\,dx.
Agora separamos a integral em duas:
I=\tfrac12\int (2x^{2}+2x-3)^{10}(4x+2)\,dx \;-\; 2\int (2x^{2}+2x-3)^{10}\,dx.

Passo 4

A primeira integral da soma é diretamente tratável com a substituição u=2x^{2}+2x-3, pois du=(4x+2)\,dx. Assim:
\tfrac12\int (2x^{2}+2x-3)^{10}(4x+2)\,dx = \tfrac12\int u^{10}\,du = \tfrac12\cdot \frac{u^{11}}{11} = \frac{u^{11}}{22}.
Voltando para x,
\frac{u^{11}}{22}=\frac{\big(2x^{2}+2x-3\big)^{11}}{22}.

Passo 5

Agora resta a outra integral que apareceu na separação:
-2\int (2x^{2}+2x-3)^{10}\,dx.
Vamos chamá-la de J, ou seja
J=\int (2x^{2}+2x-3)^{10}\,dx.
Assim, a integral original I ficou expressa como
I = \frac{\big(2x^{2}+2x-3\big)^{11}}{22} \;-\; 2J.
Neste ponto, fazemos uma observação importante e didática: a substituição direta u=2x^{2}+2x-3 transforma (4x+2)\,dx em du, mas não transforma diretamente dx sozinho em algo puramente em u (pois dx = du/(4x+2) e aí sobra x). Portanto a integral J não é trivial com essa única substituição; para computá-la em termos elementares é necessário resolver uma integral de uma potência de um polinômio quadrático sem o fator que corresponde à sua derivada, o que em geral conduz a expressões envolvendo funções racionais combinadas com funções logarítmicas e/ou arctangente (dependendo se o quadrático é fatorável sobre os reais ou não). Aqui o quadrático é 2x^{2}+2x-3, que é irreducível em fatores lineares racionais simples, logo J não se reduz a uma primitiva imediata por uma única substituição linear simples.

Passo 6

Para fechar a resolução de forma didática: a estratégia padrão de substituição deu uma expressão útil que separa a integral em uma parte imediata (que já integramos) e outra parte J mais complicada. Em muito exercícios de prova, o objetivo era exatamente reconhecer a possibilidade de extrair a parte \tfrac12(4x+2) para transformar uma porção da integral via du; ou então o enunciado originalmente trazia o fator (4x+2) (ou (2x+1) até constantes) em vez de (2x-1), o que tornaria toda a integral direta. Aqui, com o fator (2x-1), a melhor escrita que podemos obter por substituição é a relação
\int(2x^{2}+2x-3)^{10}(2x-1)\,dx = \frac{\big(2x^{2}+2x-3\big)^{11}}{22} \;-\; 2\int (2x^{2}+2x-3)^{10}\,dx.
Essa identidade já é útil na prova: ela mostra que parte da integral é imediata e que sobrou uma integral do mesmo tipo sem o fator linear, que normalmente exigiria um método diferente (por exemplo, decomposição em paridade, substituições sucessivas, ou uma antiderivada expressa por combinações de potências e funções elementares como arctan e log, se necessário).

Resposta

\displaystyle \frac{\big(2x^{2}+2x-3\big)^{11}}{22}-2\int\big(2x^{2}+2x-3\big)^{10}\,dx+C

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