Calcule a integral e, em seguida, derive a resposta para conferir o resultado.
\int \operatorname{sec} ^{2}(x)\left(\cos ^{3}(x)+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e, em seguida, derivar a resposta para conferir que está correta. As informações dadas são:
\int \operatorname{sec}^{2}(x)\big(\cos^{3}(x)+1\big)\,dx.
Portanto precisamos encontrar uma primitiva dessa função e depois computar a derivada dessa primitiva para verificar que recuperamos a função integranda.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando usando a identidade \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Primeiro expandimos:
\operatorname{sec}^{2}(x)\big(\cos^{3}(x)+1\big)=\operatorname{sec}^{2}(x)\cos^{3}(x)+\operatorname{sec}^{2}(x).
Agora substituímos \operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}:
\operatorname{sec}^{2}(x)\cos^{3}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}\cos^{3}(x)=\cos(x).
Logo o integrando simplifica para
\cos(x)+\operatorname{sec}^{2}(x).
Isso deixa a integral muito mais simples:
\int \operatorname{sec}^{2}(x)\big(\cos^{3}(x)+1\big)\,dx=\int\big(\cos(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)\big)\,dx.

Passo 3

Agora usamos a propriedade da linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Assim
\int\big(\cos(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)\big)\,dx=\int\cos(x)\,dx+\int\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Integral do primeiro termo: a primitiva de \cos(x) é \sin(x), porque a derivada de \sin(x) é \cos(x). Em notação:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\quad\Rightarrow\quad\int\cos(x)\,dx=\sin(x).

Passo 5

Integral do segundo termo: a primitiva de \operatorname{sec}^{2}(x) é \tan(x). Podemos justificar isso mostrando que a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^{2}(x). Usando \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e a regra do quociente,
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)(-\,\sin(x))}{\cos^{2}(x)} =\frac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}=\frac{1}{\cos^{2}(x)}=\operatorname{sec}^{2}(x).
Portanto
\int\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\tan(x).

Passo 6

Somando as primitivas obtidas e incluindo a constante de integração \,C, obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}(x)\big(\cos^{3}(x)+1\big)\,dx=\sin(x)+\tan(x)+C.

Passo 7

Agora vamos derivar a resposta encontrada para conferir. Seja F(x)=\sin(x)+\tan(x). Calculamos F'(x).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x), \qquad \frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Logo
F'(x)=\cos(x)+\operatorname{sec}^{2}(x).
Para mostrar que isso é exatamente o integrando original, volte à simplificação do Passo 2:
\operatorname{sec}^{2}(x)\big(\cos^{3}(x)+1\big)=\cos(x)+\operatorname{sec}^{2}(x).
Portanto F'(x) coincide com a função integranda, o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(x)\big(\cos^{3}(x)+1\big)\,dx=\sin(x)+\tan(x)+C
\displaystyle \frac{d}{dx}\big(\sin(x)+\tan(x)\big)=\cos(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)\big(\cos^{3}(x)+1\big)

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