Calcule a integral e, em seguida, derive a resposta para conferir o resultado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e, em seguida, derivar a resposta para conferir que está correta. As informações dadas são:
Portanto precisamos encontrar uma primitiva dessa função e depois computar a derivada dessa primitiva para verificar que recuperamos a função integranda.
Passo 2
Vamos simplificar o integrando usando a identidade
. Primeiro expandimos:
Agora substituímos
:
Logo o integrando simplifica para
Isso deixa a integral muito mais simples:
Passo 3
Agora usamos a propriedade da linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Assim
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Integral do primeiro termo: a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Em notação:
Passo 5
Integral do segundo termo: a primitiva de
é
. Podemos justificar isso mostrando que a derivada de
é
. Usando
e a regra do quociente,
Portanto
Passo 6
Somando as primitivas obtidas e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 7
Agora vamos derivar a resposta encontrada para conferir. Seja
. Calculamos
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Logo
Para mostrar que isso é exatamente o integrando original, volte à simplificação do Passo 2:
Portanto
coincide com a função integranda, o que confirma que a primitiva está correta.