Nos itens abaixo, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado.
f(x)=raiz[3]xx+2 ; para x0=-1

Passo 1

A questão pede a derivada de f(x)=raiz[3]xx+2=(tfracxx+2)^1/3 e a inclinação da reta tangente em x0=-1. O conteúdo é derivadas, e vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(x)=tfracxx+2. Para achar u'(x), aplicamos a regra do quociente:
u'(x)=(x+2)cdot1 - xcdot1(x+2)^2=2(x+2)^2

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia em f(x)=u(x)^1/3:
f'(x)=13u(x)^-2/3cdot u'(x)
Substituindo u(x)=(x/(x+2)) e u'(x)=2/(x+2)^2:

Passo 4

Simplificando a expressão acima obtemos
f'(x)=13l(tfracxx+2r)^-2/3cdot2(x+2)^2 = 23(x+2)^2/3x^2/31(x+2)^2 = 23,x^2/3(x+2)^4/3

Passo 5

Para encontrar a inclinação no ponto x0=-1, avaliamos:
f'(-1)=23,(-1)^2/3(1)^4/3=23cdot1cdot1=23

Passo 6

Logo, a inclinação da reta tangente à curva em x=-1 é 2/3.

Resposta

A derivada é f'(x)=23,x^2/3(x+2)^4/3 e a inclinação da reta tangente em x0=-1 é 23.

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