Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
b) integral-1^3 integralx^2 x+1 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral-1^3integralx^2x+1 x,y,dy,dx e ainda esboçar a região no plano (x,y) determinada por -1<= x<=3 e x<= y<=2x+1. O conteúdo aqui é integrais duplas em coordenadas cartesianas e como desenhar a região dada por retas.

Passo 2

Escrevemos a integral interna em função de y. Como x é tratado como constante ao integrar em y, temos:
integralx^2x+1 x,y,dy = x integralx^2x+1 y,dy = x [y^22]y=x^y=2x+1 = x2l((2x+1)^2 - x^2r)
Simplificando,
x2l(4x^2+4x+1 - x^2r) = 3x^3 + 4x^2 + x2

Passo 3

Agora integramos esse resultado de x=-1 até x=3:
integral-1^3 3x^3 + 4x^2 + x2,dx = 12 [3x^44 + 4x^33 + x^22]-1^3
Avaliações: em x=3 obtemos 3cdot814 + 4cdot273 + 92 = 4054; em x=-1 34 - 43 + 12 = -112. A diferença é 4054 - (-tfrac112) = tfrac3043 e, multiplicando por tfrac12, resulta tfrac1523.

Passo 4

Para esboçar a região, trace no plano as retas y=x e y=2x+1. Elas se cruzam em (-1,-1). O valor de x varia de -1 (ponto de interseção) até 3. Para cada x nesse intervalo, y fica entre a reta inferior y=x e a reta superior y=2x+1. O resultado é uma faixa delimitada por essas duas retas, de x=-1 a x=3.

Resposta

1523

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