Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
em
Passo 1
A função é dada por
Queremos verificar se ela é contínua em P(0,0). Isso cai no assunto de continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) e comparar com f(0,0)=0.
Passo 2
Lembrando que para ser contínua em (0,0) precisamos ter
Então o objetivo é mostrar que esse limite realmente vale zero.
Passo 3
Para facilitar o limite, usamos coordenadas polares:
Nesse caso
e
Substituindo em f(x,y):
Passo 4
Como
,
e
são todos limitados (não explodem), o fator que manda o valor para zero é
. Logo,
para qualquer ângulo válido. Assim
e concluímos que a função é contínua em P(0,0).
Resposta
A função é contínua em (0,0).