Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
f(x, y)=l6 x y raizx^3+y^3x^2+y^2,(x, y) neq(0,0) 0 ,(x, y)=(0,0) em P(0,0)

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)=6xyraizx^3+y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
Queremos verificar se ela é contínua em P(0,0). Isso cai no assunto de continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) e comparar com f(0,0)=0.

Passo 2

Lembrando que para ser contínua em (0,0) precisamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Então o objetivo é mostrar que esse limite realmente vale zero.

Passo 3

Para facilitar o limite, usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta
Nesse caso
x^3+y^3=r^3(cos^3theta+sin^3theta)
e
raizx^3+y^3=r^3/2raizcos^3theta+sin^3theta
Substituindo em f(x,y):
f(r,theta)=6,(rcostheta)(rsintheta),r^3/2raizcos^3theta+sin^3thetar^2 =6,r^3/2costhetasinthetaraizcos^3theta+sin^3theta

Passo 4

Como costheta, sintheta e raizcos^3theta+sin^3theta são todos limitados (não explodem), o fator que manda o valor para zero é r^3/2. Logo,
limrto0f(r,theta)=0
para qualquer ângulo válido. Assim
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
e concluímos que a função é contínua em P(0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0).

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