Calcule o limite:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite da função $ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 x y \sqrt{x{3}+y{3}}}{x{2}+y{2}} $. Esse problema está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, um tópico importante no cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado como
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo com o eixo
. Isso facilita a análise de limites quando nos aproximamos de
.
Passo 3
Vamos reescrever a função em coordenadas polares. Substituindo
e
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. O denominador fica:
No numerador, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão original:
Passo 6
Para encontrar o limite quando
, observamos que
tende a 0. Além disso, os termos que envolvem
são limitados porque
e
estão sempre entre -1 e 1. Portanto, o produto completo tende a 0.
Resposta
O limite da função é
.