Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) 5 x y raizx^3+y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função $ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 x y \sqrt{x{3}+y{3}}}{x{2}+y{2}} $. Esse problema está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, um tópico importante no cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e analisar o comportamento da função à medida que lim (x, y) (0,0) 5 x y raizx^3+y^3x^2+y^2 se aproxima de (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) pode ser representado como (rcostheta, rsintheta), onde r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo com o eixo x. Isso facilita a análise de limites quando nos aproximamos de (0,0).

Passo 3

Vamos reescrever a função em coordenadas polares. Substituindo x = rcostheta e y = rsintheta, temos:
5 x y raizx^3+y^3x^2+y^2 = 5 (rcostheta)(rsintheta) raiz(rcostheta)^3 + (rsintheta)^3(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. O denominador fica:
(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^2 cdot 1 = r^2
No numerador, temos:
5 rcostheta cdot rsintheta cdot raizr^3cos^3theta + r^3sin^3theta = 5 r^2 costheta sintheta cdot raizr^3 (cos^3theta + sin^3theta) = 5 r^2 costheta sintheta cdot r^1.5 raizcos^3theta + sin^3theta
Isso simplifica para:
5 r^3.5 costheta sintheta raizcos^3theta + sin^3theta

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão original:
5 r^3.5 costheta sintheta raizcos^3theta + sin^3thetar^2 = 5 r^1.5 costheta sintheta raizcos^3theta + sin^3theta

Passo 6

Para encontrar o limite quando r to 0, observamos que r^1.5 tende a 0. Além disso, os termos que envolvem theta são limitados porque costheta e sintheta estão sempre entre -1 e 1. Portanto, o produto completo tende a 0.

Resposta

O limite da função é 0.

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