Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
m) integral0^1 integrale^x^e^2 x x ln y d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral iterada integral0^1 integrale^x^e^2x x ln y , dy , dx e esboçar a região no plano xy delimitada por x em [0,1] e y entre e^x e e^2x. Para resolver, vamos precisar de: integral de ln y, técnicas de integração por partes e conhecimento das curvas exponenciais para o esboço.

Passo 2

Calcular a integral interna: como x é constante em relação a y, escrevemos integrale^x^e^2x x ln y , dy = x integrale^x^e^2x ln y , dy. Usamos a fórmula integral ln y , dy = y ln y - y + C. Assim temos: x [y ln y - y]y=e^x^y=e^2x.
Avaliamos a primitiva nos limites: substituindo y = e^{2x} e y = e^x, obtemos x [(e^2x(2x) - e^2x) - (e^x x - e^x)] = x [2x e^2x - e^2x - x e^x + e^x]. Logo a integral original vira integral0^1 [2x^2 e^2x - x e^2x - x^2 e^x + x e^x] , dx.

Passo 3

Separar em integrais mais simples: definimos
I = integral0^1 2x^2 e^2x ,dx - integral0^1 x e^2x ,dx - integral0^1 x^2 e^x ,dx + integral0^1 x e^x ,dx
Chamamos essas integrais de 2A, B, C e D, onde
A = integral0^1 x^2 e^2x ,dx, B=integral0^1 x e^2x ,dx, C=integral0^1 x^2 e^x ,dx, D=integral0^1 x e^x ,dx
Calcular B = integral0^1 x e^2x ,dx por partes: seja u = x, dv = e^2xdx então du=dx, v=tfrac12 e^2x. Obtemos
B = l[tfrac12 x e^2xr]0^1 - integral0^1 tfrac12 e^2x ,dx = tfrac12 e^2 - tfrac14(e^2-1) = e^2+14

Passo 4

Calcular C = integral0^1 x^2 e^x ,dx e D = integral0^1 x e^x ,dx por partes: para D com u=x, dv=e^x dx vem D=1. Para C com u=x^2, dv=e^x dx obtemos A = integral0^1 x^2 e^2x dx
Calcular B por partes ou usando relação com A = tfrac12 e^2 - B = tfrac12 e^2 - e^2+14 = e^2-14: convenhamos que

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Passo 5

Montar o valor da integral I: substituindo em
I = 2A - B - C + D = tfrace^2-12 - e^2+14 - (e-2) + 1,
fazendo conta encontra-se
I = e^24 - e + 94

Passo 6

Esboçar a região de integração: no plano xy, é o conjunto de pontos com 0 <= x <= 1 e e^x <= y <= e^2x. No esboço, desenhe as curvas exponenciais y=e^x (mais suave) e y=e^2x (mais inclinada) e sombreie a região entre elas, limitada pelas linhas verticais em x=0 e x=1.

Resposta

e^24 - e + 94

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