Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
m)
m)
Passo 1
Resumo do enunciado: calcular a integral iterada
e esboçar a região no plano xy delimitada por x em [0,1] e y entre
e
. Para resolver, vamos precisar de: integral de
, técnicas de integração por partes e conhecimento das curvas exponenciais para o esboço.
Passo 2
Calcular a integral interna: como x é constante em relação a y, escrevemos
. Usamos a fórmula
. Assim temos:
.
Avaliamos a primitiva nos limites: substituindo y = e^{2x} e y = e^x, obtemos . Logo a integral original vira
.
Avaliamos a primitiva nos limites: substituindo y = e^{2x} e y = e^x, obtemos
Passo 3
Separar em integrais mais simples: definimos
Chamamos essas integrais de
Calcular
por partes: seja
,
então
,
. Obtemos
Passo 4
Calcular
e
por partes: para
com
vem
. Para
com
obtemos
Calcular por partes ou usando relação com
: convenhamos que
Calcular
Logo
Passo 5
Montar o valor da integral
: substituindo em
fazendo conta encontra-se
Passo 6
Esboçar a região de integração: no plano xy, é o conjunto de pontos com
e
. No esboço, desenhe as curvas exponenciais
(mais suave) e
(mais inclinada) e sombreie a região entre elas, limitada pelas linhas verticais em x=0 e x=1.