Esboçar a região de continuidade das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar a região de continuidade da função $ f(x, y) = \ln \left(\frac{6x^{4}}{x - y^{2}}\right) $. Isso está no campo do cálculo, especificamente tratando de funções de duas variáveis e suas regiões de continuidade. Para resolver, precisamos entender onde essa função está definida e contínua, ou seja, onde o logaritmo faz sentido e a divisão não dá problema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro do logaritmo: $ \frac{6x^{4}}{x - y^{2}} $. Para que o logaritmo seja definido, o que está dentro dele tem que ser maior que zero. Então, temos uma condição:
Passo 3
Agora, olhamos para o numerador e o denominador separadamente. O numerador é $ 6x^{4} $. Como $ x^{4} $ é sempre positivo (porque qualquer número elevado a uma potência par dá positivo) e 6 também é positivo, o numerador todo é positivo para qualquer valor de $ x $.
Passo 4
Então, fazemos a análise do denominador: $ x - y^{2} $. Para a fração toda ser positiva, o denominador também precisa ser positivo, já que o numerador é positivo. Logo, temos:
Passo 5
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Portanto:
Passo 6
Juntando as duas condições que encontramos:
- $ x > y^{2} $ (para que a fração seja positiva)
- $ x \neq y^{2} $ (para evitar divisão por zero)
Na verdade, a segunda condição já está incluída na primeira, porque se $ x > y^{2} $, automaticamente $ x \neq y^{2} $.
Resposta
A região de continuidade da função $ f(x, y) = \ln \left(\frac{6x^{4}}{x - y^{2}}\right) $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ no plano que satisfazem $ x > y^{2} $. Geometricamente, isso corresponde à área acima da parábola $ y^{2} = x $ no plano xy.