Esboçar a região de continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=ln (6 x^4x-y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar a região de continuidade da função $ f(x, y) = \ln \left(\frac{6x^{4}}{x - y^{2}}\right) $. Isso está no campo do cálculo, especificamente tratando de funções de duas variáveis e suas regiões de continuidade. Para resolver, precisamos entender onde essa função está definida e contínua, ou seja, onde o logaritmo faz sentido e a divisão não dá problema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro do logaritmo: $ \frac{6x^{4}}{x - y^{2}} $. Para que o logaritmo seja definido, o que está dentro dele tem que ser maior que zero. Então, temos uma condição:
6x^4x - y^2

Passo 3

Agora, olhamos para o numerador e o denominador separadamente. O numerador é $ 6x^{4} $. Como $ x^{4} $ é sempre positivo (porque qualquer número elevado a uma potência par dá positivo) e 6 também é positivo, o numerador todo é positivo para qualquer valor de $ x $.

Passo 4

Então, fazemos a análise do denominador: $ x - y^{2} $. Para a fração toda ser positiva, o denominador também precisa ser positivo, já que o numerador é positivo. Logo, temos:
x - y^2

Passo 5

Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Portanto:
x - y^2 neq 0 implies x neq y^2

Passo 6

Juntando as duas condições que encontramos:
  1. $ x > y^{2} $ (para que a fração seja positiva)
  2. $ x \neq y^{2} $ (para evitar divisão por zero)
Na verdade, a segunda condição já está incluída na primeira, porque se $ x > y^{2} $, automaticamente $ x \neq y^{2} $.

Resposta

A região de continuidade da função $ f(x, y) = \ln \left(\frac{6x^{4}}{x - y^{2}}\right) $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ no plano que satisfazem $ x > y^{2} $. Geometricamente, isso corresponde à área acima da parábola $ y^{2} = x $ no plano xy.

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