Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
e) integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 3 d y d x f) integral0^1 integral-e^x^e^x y^3 d y d x

Passo 1

Vamos revisar o que o exercício pede: calcular duas integrais iteradas e desenhar a região de integração em cada caso. O conteúdo envolve integrais iteradas em coordenadas cartesianas e reconhecimento de regiões do plano.

Passo 2

Item e): primeiro, a integral é
integral0^1integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^23,dy,dx
O núcleo do cálculo é integrar 3 em relação a y de -raiz1-x^2 a raiz1-x^2, o que dá
3l[yr]-raiz1-x^2^raiz1-x^2=3l(2raiz1-x^2r)=6raiz1-x^2
Em seguida, integramos em x:
integral0^16raiz1-x^2,dx
Sabendo que integral0^1raiz1-x^2,dx=pi4 (área de um quarto de círculo unitário), obtemos
6cdotpi4=6pi4=3pi2
A região de integração é o semicírculo de raio 1 à direita do eixo y, pois x vai de 0 a 1 e y de -raiz1-x^2 a raiz1-x^2.

Passo 3

Item f): a integral é
integral0^1integral-e^x^e^xy^3,dy,dx
Como y^3 é função ímpar, ao integrar de -e^x a e^x temos
integral-e^x^e^xy^3,dy=0
Logo toda a integral é
integral0^10,dx=0
A região de integração é a faixa vertical para 0<= x<=1, entre as curvas y=-e^x e y=e^x, simétrica em relação ao eixo x.

Resposta

e) 3pi2, região: semicírculo de raio 1 à direita do eixo y.
f) 0, região: faixa entre y=-e^x e y=e^x para 0<= x<=1.

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