Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
d) integral0^pi integral0^sen x y cos x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^pi integral0^sin x y,cos x,dy,dx
e esboçar a região do plano determinada por 0≤x≤π e 0≤y≤sin x. Vamos usar integração em duas variáveis e entender a região D sob a curva y=sin x.

Passo 2

Para integrar em y, lembramos que x é tratado como constante. Assim,
integral0^sin x y,cos x,dy = cos x integral0^sin x y,dy
Agora calculamos
integral0^sin x y,dy = y^22|0^sin x = sin^2x2
Portanto a integral interna fica
cos x cdot sin^2x2 = 12sin^2x,cos x

Passo 3

Agora temos que calcular a integral em x:
integral0^pi 12sin^2x,cos x,dx
Usamos a substituição u=sin x, de modo que du=cos x dx. Quando x=0, u=0; quando x=π, u=0. Então
integral0^pi 12sin^2x,cos x,dx = 12 integralu=0^u=0 u^2,du = 0

Passo 4

A região D que encerramos corresponde a todos os pontos (x,y) tais que
0 <= x <= pi, 0 <= y <= sin x
No plano xy isso é a área sob a curva y=sin x entre as retas verticais x=0 e x=π, acima do eixo x.”],

Resposta

O valor da integral é 0. A região D é dada por 0≤x≤π e 0≤y≤sin x, ou seja, a área sob a curva y=sin x entre x=0 e x=π.

Exercícios relacionados