Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
e esboçar a região do plano determinada por 0≤x≤π e 0≤y≤sin x. Vamos usar integração em duas variáveis e entender a região D sob a curva y=sin x.
Passo 2
Para integrar em y, lembramos que x é tratado como constante. Assim,
Agora calculamos
Portanto a integral interna fica
Passo 3
Agora temos que calcular a integral em x:
Usamos a substituição u=sin x, de modo que du=cos x dx. Quando x=0, u=0; quando x=π, u=0. Então
Passo 4
A região D que encerramos corresponde a todos os pontos (x,y) tais que
No plano xy isso é a área sob a curva y=sin x entre as retas verticais x=0 e x=π, acima do eixo x.”],
Resposta
O valor da integral é 0. A região D é dada por 0≤x≤π e 0≤y≤sin x, ou seja, a área sob a curva y=sin x entre x=0 e x=π.