Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares:
e) integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

Resumindo o problema: calcular a integral dupla de e^-x^2 - y^2 sobre a região D delimitada pelo semicírculo x = raiz4 - y^2 e o eixo y. Essa região é o semicírculo de raio 2 no semiplano x>=0. O conteúdo usado será integração em coordenadas polares, com as substituições x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, o semicírculo de raio 2 em x>=0 fica descrito por
0 <= r <= 2,
-pi2 <= theta <= pi2

Passo 3

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = integraltheta=-pi/2^pi/2 integralr=0^2 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Para a integral interna em r:
integral0^2 r,e^-r^2,dr
Fazendo a substituição u = r^2, du = 2r,dr, obtemos
integral0^2 r,e^-r^2,dr = -12e^-r^2 |0^2 = 12l(1 - e^-4r)

Passo 5

A parte angular é
integral-pi/2^pi/2 dtheta = pi
Multiplicando, a integral total vale
pi cdot 12l(1 - e^-4r) = pi2l(1 - e^-4r)

Resposta

pi2(1 - e^-4)

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