Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares:
e)
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
.
e)
Passo 1
Resumindo o problema: calcular a integral dupla de
sobre a região
delimitada pelo semicírculo
e o eixo
. Essa região é o semicírculo de raio 2 no semiplano
. O conteúdo usado será integração em coordenadas polares, com as substituições
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas polares, o semicírculo de raio 2 em
fica descrito por
Passo 3
Substituindo na integral dupla:
Passo 4
Para a integral interna em
:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 5
A parte angular é
Multiplicando, a integral total vale