Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: g) integral-1^1 integral-2|x|^|x| e^x+y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral-1^1integral-2|x|^|x|e^x+y,dy,dx e, em seguida, esboçar a região no plano definido por -1<= x<=1 e -2|x|<= y<=|x|. O conteúdo envolve integração iterada, tratamento de valor absoluto e esboço de domínio de integração.

Passo 2

Começamos integrando em y, tratando x como constante:
integral-2|x|^|x|e^x+y,dy = e^xintegral-2|x|^|x|e^y,dy = e^xl[e^yr]y=-2|x|^y=|x| = e^xl(e^|x|-e^-2|x|r)
A integral original vira
integral-1^1e^xl(e^|x|-e^-2|x|r)dx

Passo 3

Como há |x|, dividimos em duas integrais: uma de -1 a 0 (onde |x|=-x) e outra de 0 a 1 (onde |x|=x).
Para xin[-1,0]:
e^xl(e^|x|-e^-2|x|r)=e^x(e^-x-e^2x)=1-e^3x
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Passo 4

Para xin[0,1]:
e^x(e^x-e^-2x)=e^2x-e^-x,
portanto
integral0^1(e^2x-e^-x)dx=l[tfrac12e^2x+e^-xr]0^1=l(tfrac12e^2+e^-1r)-tfrac32

Passo 5

Somando as duas partes:
l(tfrac23+tfrac13e^-3r)+l(tfrac12e^2+e^-1-tfrac32r)=tfrac12e^2+e^-1+tfrac13e^-3-tfrac56

Passo 6

Para esboçar a região, note que ela é delimitada pelas linhas verticais x=-1 e x=1, pela curva superior y=|x| (ou seja, y=x quando x>=0 e y=-x quando x<=0) e pela curva inferior y=-2|x| (iguais a y=-2x para x>=0 e y=2x para x<=0). O domínio é a região entre essas quatro curvas, formada por dois triângulos simétricos à esquerda e à direita de y-eixo.
No gráfico, basta desenhar as retas y=|x| e y=-2|x| para -1<= x<=1 e pintar a região entre elas.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}e{2}+e{-1}+\tfrac{1}{3}e^{-3}-\tfrac{5}{6}

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