Lembre que os números naturais N foram definidos a partir dos axiomas de Peano, de tal forma que
N=0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), ldots
e utilizamos a notação usual 1=s(0), 2=s(1), 3=s(2), etc.
Prove que:
6 neq 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 6 neq 2 nos naturais definidos pelos axiomas de Peano. O conteúdo é igualdade em N e vamos precisar dos axiomas de injetividade do sucessor e de que 0 não é sucessor de nenhum número.

Passo 2

Escrevemos os números em termos de sucessor:
6 = s(s(s(s(s(s(0)))))) e 2 = s(s(0))

Passo 3

Suponha, por absurdo, que 6 = 2. Então
s(s(s(s(s(s(0)))))) = s(s(0))
Pela injetividade de s, cancelamos um sucessor em ambos os lados para obter
s(s(s(s(s(0))))) = s(0)
e em seguida outra vez
s(s(s(s(0)))) = 0

Passo 4

Mas isso entra em contradição com o axioma que afirma que nenhum sucessor pode ser igual a 0, i.e., forall n:,s(n)neq0. Portanto, a suposição levou a um absurdo e concluímos que 6 neq 2.

Resposta

6 \neq 2

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