Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=-1, y^prime(0)=1, f(t)=ll1, & 01

Passo 1

Estamos resolvendo o PVI y''+4y=f(t) com y(0)=-1, y'(0)=1 e forçamento em degrau f(t)=1 para 0 e f(t)=0 para t>1. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento por partes. A estratégia é: (i) resolver em 0 usando método dos coeficientes indeterminados, (ii) resolver em t>1 pela equação homogênea e (iii) igualar y e y' em t=1 para achar as constantes.

Passo 2

Para 0, temos força constante f(t)=1. A equação é y''+4y=1. Fazemos:
yp = A (constante) leva a 0+4A=1, ou seja
A=tfrac14
A solução geral fica:
y1(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)+tfrac14
Usando y1(0)=-1 e y1'(0)=1:
y1(0)=C1+tfrac14=-1implies C1=-tfrac54,
y1'(t)=-2C1sin(2t)+2C2cos(2t),
y1'(0)=2C2=1implies C2=tfrac12
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y1(t)=-tfrac54cos(2t)+tfrac12sin(2t)+tfrac14, 0

Passo 3

Calculamos agora a derivada
$$y_1’(t)=(5/2)\sin(2t)+\cos(2t).
y1'(t)=(5/2)sin(2t)+cos(2t) u=y_1(1)=-\tfrac54\cos2+\tfrac12\sin2+\tfrac14,$$
t=1

Passo 4

Para t>1, a equação fica homogênea: y''+4y=0. A solução é
$$y_2(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
y2(t)=Acos(2t)+Bsin(2t) A\cos2+B\sin2=u,$$
t=1
Esse sistema é uma rotação, cuja inversa dá
Acos2+Bsin2=u,
-2Asin2+2Bcos2=v
Substituindo A=ucos2-tfrac v2sin2, e B=usin2+tfrac v2cos2 obtemos
u
v

Passo 5

Reunindo tudo, a solução é
y(t)= -tfrac54cos(2t)+tfrac12sin(2t)+tfrac14,&01

Resposta

y(t)= -tfrac54cos(2t)+tfrac12sin(2t)+tfrac14,&01

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