Resolva os PVIs a seguir.
y^prime prime+y=2 e^-t, y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

A questão pede para resolver o PVI y'' + y = 2e^-t, com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O assunto é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos achar primeiro a solução complementar (homogênea), depois uma particular e por fim aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada y'' + y = 0. Montamos a equação característica
r^2 + 1 = 0
cuja solução é r = pm i. Daí vem a solução complementar
yh(t) = C1 ,cos t + C2 ,sin t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp do tipo dos coeficientes não homogêneos (método dos coeficientes a determinar), fazemos o palpite
yp(t) = A ,e^-t
Calculamos as derivadas
yp'(t) = -A ,e^-t,
yp''(t) = A ,e^-t,
e substituímos em y'' + y = 2e^-t:
A e^-t + A e^-t = 2A e^-t = 2e^-t
Logo 2A = 2 e A = 1. Assim
yp(t) = e^-t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 ,cos t + C2 ,sin t + e^-t
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = C1 + 1 = 0 ,implies C1 = -1
Em seguida derivamos:
y'(t) = -C1 ,sin t + C2 ,cos t - e^-t,
e em t=0:
y'(0) = 0 + C2 - 1 = 0 ,implies C2 = 1

Passo 5

Substituindo C1 = -1 e C2 = 1 na solução geral, obtemos
y(t) = -cos t + sin t + e^-t

Resposta

y(t) = -cos t + sin t + e^-t

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