Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla de 
  sobre uma região específica, definida pelos limites de integração 
  variando de 
  a 
  e 
  variando de 
  a 
 . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, mais precisamente integrais iteradas, e também vamos esboçar a região onde essa integração acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar e entender a região de integração. Para isso, precisamos analisar os limites de 
  em função de 
 .
- Para cada valor de 
entre e , varia de a .  - Isso significa que quando 
é positivo, vai de a .  - Quando 
é negativo, vai de a .  
Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
Passo 3
Vamos esboçar a região:
- Desenhe o eixo 
de a .  - Para 
: - 
é uma linha que desce com inclinação .  - 
é uma linha que sobe com inclinação .  
 - 
 - Para 
: - 
é uma linha que desce com inclinação .  - 
é uma linha que sobe com inclinação .  
 - 
 
A região delimitada por essas linhas forma um trapézio simétrico em relação ao eixo 
 .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla passo a passo. A integral é:
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a 
 ).
Passo 5
Calculando a integral interna:
Como 
  é considerado constante em relação a 
 , podemos tratar 
 .
Integrando em relação a 
 :
Passo 6
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Vamos simplificar a expressão:
Perceba que 
  e 
  se comportam de forma diferente para 
  e 
 . Vamos dividir a integral em duas partes: de 
  a 
  e de 
  a 
 .
Passo 7
Dividindo a integral:
Simplificando:
Passo 8
Calculando cada parte separadamente:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 9
Somando as duas partes:
Combinando os termos constantes:
Portanto, a integral total é:
Resposta
A integral dupla vale 
 .