Use integral dupla para encontrar a área da região limitada por 
  
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar uma integral dupla para encontrar a área da região que está limitada pelas curvas 
  e 
 . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas que ajudam a calcular áreas de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se intersectam, pois esses pontos vão nos dar os limites de integração. Vamos igualar as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver a equação 
 :
Então, as soluções são 
  e 
 .
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em 
  e 
 , vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Sabemos que 
  cresce mais rapidamente do que 
 , então para 
 , 
  está acima de 
 .
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas usando uma integral dupla, vamos configurar a integral da seguinte forma:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a 
 :
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 9
Agora, avaliamos os limites de integração:
Para 
 :
Para 
 :
Então,
Passo 10
Vamos simplificar:
Como estamos falando de área, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas 
  e 
  é 
 .