Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas.
integral-3^3 integral0^pi / 2(y+y^2 cos x) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integraly=-3^3integralx=0^pi/2l(y + y^2cos xr),dx,dy. O conteúdo aqui é integração múltipla (Teorema de Fubini) e uso de linearidade de integrais para separar termos.

Passo 2

Primeiro integramos em x, tratando y como constante. Pela linearidade, temos:
integral0^pi/2l(y + y^2cos xr)dx = integral0^pi/2y,dx + integral0^pi/2y^2cos x,dx
O primeiro termo é y x de 0 a pi/2, ou seja ycdot(pi/2).
O segundo termo é y^2sin x de 0 a pi/2, que vale y^2cdot1 - y^2cdot0 = y^2.
Logo, a integral interna vira
pi2y + y^2

Passo 3

Agora integramos em y de -3 a 3:
integral-3^3l(pi2y + y^2r)dy = pi2integral-3^3y,dy + integral-3^3y^2,dy
O primeiro termo é zero porque a função y é ímpar e o intervalo é simétrico.
O segundo termo é ([y3/3]_{-3}{3} = (27/3) - (-27/3) = 9 + 9 = 18.
Portanto, o valor da integral é

Passo 4

final_answer provided below:

Resposta

18

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