Nos itens abaixo, considere e matrizes , onde é a matriz identidade. Se é uma matriz anti-simétrica então e são não-singulares. Demonstre esta afirmação nos casos em que é uma matriz de ordem e .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se é uma matriz anti-simétrica de tamanho , então as matrizes e são não-singulares (i.e.\ têm determinante diferente de zero). Vamos fazer isso explicitamente para e , calculando o determinante em cada caso.
Passo 2
Caso .
Uma matriz anti-simétrica tem a forma
com ainR. Então
I + M = 1 & a -a & 1, I - M = 1 & -a a & 1
Calculemos, por exemplo,
det(I+M) = 1cdot 1 - (a)(-a) = 1 + a^2,
e
det(I-M) = 1cdot 1 - (-a)(a) = 1 + a^2
Como 1 + a^2>0 para todo a, ambas as matrizes são não-singulares.
Passo 3
Caso 3times3.
Uma matriz anti-simétrica MinR^3times3 pode ser escrita como
M = 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 ,
com a,b,cinR. Então
I+M = 1 & a & b -a & 1 & c -b & -c & 1
Vamos expandir o determinante por cofactores na primeira linha: