Nos itens abaixo, considere A, B, K e I matrizes n times n, onde I é a matriz identidade.
(0,5) Se M é uma matriz anti-simétrica então I+M e I-M são não-singulares. Demonstre esta afirmação nos casos em que M é uma matriz de ordem 2 times 2 e 3 times 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se M é uma matriz anti-simétrica de tamanho ntimes n, então as matrizes I+M e I-M são não-singulares (i.e.\ têm determinante diferente de zero). Vamos fazer isso explicitamente para n=2 e n=3, calculando o determinante em cada caso.

Passo 2

Caso 2times2.
Uma matriz anti-simétrica MinR^2times2 tem a forma
M = 0 & a -a & 0,
com ainR. Então
I + M = 1 & a -a & 1, I - M = 1 & -a a & 1
Calculemos, por exemplo,
det(I+M) = 1cdot 1 - (a)(-a) = 1 + a^2,
e
det(I-M) = 1cdot 1 - (-a)(a) = 1 + a^2
Como 1 + a^2>0 para todo a, ambas as matrizes são não-singulares.

Passo 3

Caso 3times3.
Uma matriz anti-simétrica MinR^3times3 pode ser escrita como
M = 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 ,
com a,b,cinR. Então
I+M = 1 & a & b -a & 1 & c -b & -c & 1
Vamos expandir o determinante por cofactores na primeira linha:
det(I+M) =1cdotdet1 & c -c & 1 - acdotdet-a & c -b & 1 + bcdotdet-a & 1 -b & -c
Cada menor dá
det1 & c -c & 1=1+c^2, det-a & c -b & 1=-a+bc, det-a & 1 -b & -c=ac+b
Substituindo:
det(I+M) =(1+c^2) - a(-a+bc) + b(ac+b) =1 + c^2 + a^2 - abc + abc + b^2 =1 + a^2 + b^2 + c^2
De modo análogo, calcula-se det(I-M)=1+a^2+b^2+c^2. Em ambos os casos o determinante é estritamente positivo.

Resposta

Para
que nunca é zero. Assim, são não-singulares.]

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