Para que valores de a o limite de todas as soluções do sistema é 0 quando t infty (assintoticamente estável)?
l x^prime=2 x+a y y^prime=3 x-4 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a que tornam o ponto de equilíbrio (0,0) assintoticamente estável no sistema linear
x' = 2x + a y, y' = 3x - 4y
O conteúdo necessário é o critério de estabilidade para sistemas lineares de ordem 2 via traço e determinante da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema:
A = 2 & a 3 & -4
Calculamos o traço e o determinante:
tr(A) = 2 + (-4) = -2,
det(A) = 2cdot(-4) - acdot3 = -8 - 3a

Passo 3

Para um sistema linear bidimensional x'=Ax, a origem é assintoticamente estável se, e somente se,
tr(A) < 0 e det(A) > 0

Passo 4

Substituindo:
tr(A) = -2 < 0 vale para todo a.
Para det(A)>0 temos
-8 - 3a > 0 Longrightarrow 8 + 3a < 0 Longrightarrow a < -tfrac83

Resposta

O sistema é assintoticamente estável para
a < -tfrac83

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